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-1-3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示目标导航1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识梳理1.设i,j,k是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使得p=xi+yj+zk,我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.2.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.知识梳理3.如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).向量𝑂𝑃=p知识梳理【做一做1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是()A.𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐷B.𝐴𝐵,𝐴𝐴1,𝐴𝐵1C.𝐷1𝐴1,𝐷1𝐶1,𝐷1𝐷D.𝐴𝐶1,𝐴1𝐶,𝐶𝐶1解析:只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底.答案:C【做一做2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若𝐴𝐵=3i,𝐴𝐷=2j,𝐴𝐴1=5k,则𝐴𝐶1=()A.i+j+kB.13𝐢+12𝐣+15𝐤C.3i+2j+5kD.3i+2j-5k解析:𝐴𝐶1=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐶1=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1=3i+2j+5k.答案:C知识梳理【做一做3】设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是.答案:(3,2,-1),(-2,4,2)重难聚焦1.空间向量基本定理的证明剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.①平移:设a,b,c不共面,过点O作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,𝑂𝑃=p;②平行投影:过点P作直线PP'∥OC,交平面OAB于点P',在平面OAB内过点P'作P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB交于点A',B';③表示:于是存在三个实数x,y,z,使𝑂𝐴'=𝑥𝑂𝐴=𝑥a,𝑂𝐵'=𝑦𝑂𝐵=𝑦b,𝑃'𝑃=𝑧𝑂𝐶=𝑧c;④求和代入:𝑂𝑃=𝑂𝑃'+𝑃'𝑃=𝑂𝐴'+𝑂𝐵'+𝑃'𝑃=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵+𝑧𝑂𝐶,所以p=xa+yb+zc.重难聚焦(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c,所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0.又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'.所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.重难聚焦2.空间向量的坐标表示剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示.(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.重难聚焦(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i,j,k为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使a=xi+yj+zk,把x,y,z叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记为a=(x,y,z).对于空间坐标系中任一点A,对应一个向量𝑂𝐴,则𝑂𝐴=a=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k中与向量𝑂𝐴对应的有序实数组{x,y,z},叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z).在写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.(4)空间任一点P的坐标的确定.过点P作平面xOy的垂线,垂足为点P',在平面xOy中,过点P'分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A,C,则|x|=|P'C|,|y|=|AP'|,|z|=|PP'|,如图所示.典例透析题型一题型二题型三基底的概念【例1】若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.分析:解答本题可以使用反证法,判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ和μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∴a+b,b+c,c+a不共面.∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.∵{a,b,c}是基底,∴𝜇=1,𝜆=1,𝜆+𝜇=0,此方程组无解.典例透析题型一题型二题型三反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看它们是否共面,常用反证法来判断.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个典例透析题型一题型二题型三解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a,∴x,a,b共面,故①不能作为基底.x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底.z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底.④假设a+b,b+c,a+b+c共面,则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc,则𝜆=1,𝜆+𝜇=1,𝜇=1,该方程组无解.故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底.答案:C典例透析题型一题型二题型三用基底表示向量【例2】如图所示,在空间四边形OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c.试用向量a,b,c表示向量𝐺𝐻.分析:要用向量a,b,c表示向量𝐺𝐻,就是要找到一组有序实数x,y,z,使𝐺𝐻=𝑥a+yb+zc,这主要是用向量的加减法,并从图形的几何性质入手,看𝐺𝐻可以由哪些向量的和或差得到.典例透析题型一题型二题型三解:∵𝑂𝐺=𝑂𝐴+𝐴𝐺,𝐴𝐺=23𝐴𝐷,𝐴𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐴,且D为BC的中点,∴𝑂𝐷=12(𝑂𝐵+𝑂𝐶),∴𝑂𝐺=𝑂𝐴+23𝐴𝐷=𝑂𝐴+23(𝑂𝐷−𝑂𝐴)=𝑂𝐴+23×12(𝑂𝐵+𝑂𝐶)−23𝑂𝐴=13(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶)=13𝐚+13𝐛+13𝐜.又𝐺𝐻=𝑂𝐻−𝑂𝐺,𝑂𝐻=23𝑂𝐷=23×12(𝑂𝐵+𝑂𝐶)=13(b+c),∴𝐺𝐻=13(b+c)−13(a+b+c)=−13𝐚.∴𝐺𝐻=−13𝐚.典例透析题型一题型二题型三反思利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出任意一个空间向量.要注意结合图形,灵活地运用向量的三角形法则、平行四边形法则及向量的数乘运算.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴'=c,P是CA'的中点,M是CD'的中点,N是C'D'的中点,点Q是CA'上的点,且CQ∶QA'=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)𝐴𝑃;(2)𝐴𝑀;(3)𝐴𝑁;(4)𝐴𝑄.典例透析题型一题型二题型三解:连接AC,AD',AC'.(1)𝐴𝑃=12(𝐴𝐶+𝐴𝐴')=12(𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴')=12(a+b+c).(2)𝐴𝑀=12(𝐴𝐶+𝐴𝐷')=12(𝐴𝐵+2𝐴𝐷+𝐴𝐴')=12𝐚+b+12𝐜.(3)𝐴𝑁=12(𝐴𝐶'+𝐴𝐷')=12[(𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴')+(𝐴𝐷+𝐴𝐴')]=12(𝐴𝐵+2𝐴𝐷+2𝐴𝐴')=12𝐚+b+c.(4)𝐴𝑄=𝐴𝐶+𝐶𝑄=𝐴𝐶+45(𝐴𝐴'−𝐴𝐶)=15𝐴𝐵+15𝐴𝐷+45𝐴𝐴'=15𝐚+15𝐛+45𝐜.典例透析题型一题型二题型三求向量的坐标【例3】在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,𝐴𝑂=4,𝐵𝑂=2,𝐴𝐴1=4,𝐷为𝐴1𝐵1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求𝐷𝑂,𝐴1𝐵的坐标.分析:先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将𝐷𝑂,𝐴1𝐵用基底表示,即得坐标.典例透析题型一题型二题型三解:由已知得AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,从而建立以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝑂1方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图,则𝑂𝐴=4i,𝑂𝐵=2j,𝑂𝑂1=4k,𝐷𝑂=−𝑂𝐷=−(𝑂𝑂1+𝑂1𝐷)=−𝑂𝑂1+12(𝑂𝐴+𝑂𝐵)=−𝑂𝑂1−12𝑂𝐴−12𝑂𝐵=−2i-j-4k,故𝐷𝑂的坐标为(-2,-1,-4).𝐴1𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴1=𝑂𝐵−(𝑂𝐴+𝐴𝐴1)=𝑂𝐵−𝑂𝐴−𝐴𝐴1=−4i+2j-4k,故𝐴1𝐵的坐标为(-4,2,-4).反思求空间向量坐标的步骤是首先选择恰当的单位正交基底,然后利用空间向量基本定理,将向量进行分解,最后写出坐标.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐴1}为基底,则向量𝐴𝐸的坐标为____________,向量𝐴𝐹的坐标为___________,向量𝐴𝐶1的坐标为___________.解析:因为𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐷1+𝐷1𝐸=12𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐸的坐标为12,1,1.因为𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐵1+𝐵1𝐹=𝐴𝐵+12𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐹的坐标为1,12,1.因为𝐴𝐶1=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐶1的坐标为(1,1,1).答案:12,1,11,12,1(1,1,1)典例透析