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-1-3.1.3空间向量的数量积运算目标导航1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.知识梳理1.向量的夹角(1)如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b.(2)向量a,b的夹角a,b的范围是[0,π],如果a,b=π2,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b.知识拓展1.当a,b=0时,两个向量同向共线;当a,b=π时,两个向量反向共线.若a∥b,则a,b=0或π.2.对空间任意两个非零向量a,b,有:(1)a,b=b,a;(2)a,-b=-a,b=π-a,b;(3)-a,-b=a,b.知识梳理【做一做1】已知向量a=-3b,则a,b=.解析:∵a=-3b,∴a与b反向.∴a,b=π.答案:π知识梳理2.向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosa,b.零向量与任何向量的数量积为0.特别地,a·a=|a||a|cosa,a=|a|2.(2)数量积满足的运算律:①(λa)·b=λ(a·b);②交换律:a·b=b·a;③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.知识梳理(3)向量数量积的性质:①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.②若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.④|a·b|≤|a||b|.归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.特别地:a·a=|a|2,或|a|=𝑎·𝑎.③若θ为a与b的夹角,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.知识梳理【做一做2-1】若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2,则𝐴𝐶·𝐴𝐷1等于()解析:𝐴𝐶·𝐴𝐷1=|𝐴𝐶|·|𝐴𝐷1|cos∠CAD1=2×2×12=2.答案:A【做一做2-2】已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a-3b)=.解析:a·(2a-3b)=2|a|2-3a·b=2×12-3×1×2×-12=5.答案:5重难聚焦1.理解向量数量积的概念剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是向量,而向量的数量积的结果是数量;(2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab;(3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(a·b)c≠a(b·c),a·b=a·cb=c.(4)由a·b=k(k≠0)不能得出a=𝑘𝑏或b=𝑘𝑎.2.空间向量数量积的应用剖析(1)利用公式|a|=𝑎·𝑎可以解决空间中有关距离或长度的求解问题;(2)利用公式cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|可以解决空间中两向量的夹角,特别是两异面直线所成角的求解问题;(3)利用关系a⊥b⇔a·b=0可以证明空间中的两直线垂直.典例透析题型一题型二题型三题型四数量积的运算【例1】已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:(1)𝐵𝐶·𝐸𝐷1;(2)𝐵𝐹·𝐴𝐵1;(3)𝐸𝐹·𝐹𝐶1.分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量表示出来,再代入向量的数量积进行运算.解:如图,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四(1)𝐵𝐶·𝐸𝐷1=𝐵𝐶·(𝐴1𝐷1−𝐴1𝐸)=𝐵𝐶·[𝐴1𝐷1−12(𝐴1𝐴+𝐴𝐵)]=b·12(𝑐-𝑎)+𝑏=|𝐛|2=42=16.(2)𝐵𝐹·𝐴𝐵1=(𝐵𝐴1+𝐴1𝐹)·(𝐴𝐵+𝐴𝐴1)=(𝐴𝐴1−𝐴𝐵+𝐴1𝐹)·(𝐴𝐵+𝐴𝐴1)=𝑐-𝑎+12𝑏·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)𝐸𝐹·𝐹𝐶1=(𝐸𝐴1+𝐴1𝐹)·(𝐹𝐷1+𝐷1𝐶1)=12(𝐴𝐴1-𝐴𝐵)+𝐴1𝐹·(𝐹𝐷1+𝐷1𝐶1)=12(𝑐-𝑎)+12𝑏·12𝑏+𝑎=12(-a+b+c)·12𝑏+𝑎=−12|𝐚|2+14|𝐛|2=2.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的几何意义,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知正四面体OABC的棱长为1.求:(1)𝑂𝐴·𝑂𝐵;(2)(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·(𝐶𝐴+𝐶𝐵).解:(1)𝑂𝐴·𝑂𝐵=|𝑂𝐴||𝑂𝐵|·cos60°=1×1×12=12.(2)(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·(𝐶𝐴+𝐶𝐵)=(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·(𝑂𝐴−𝑂𝐶+𝑂𝐵−𝑂𝐶)=𝑂𝐴+𝑂𝐵·𝑂𝐴+𝑂𝐵−2𝑂𝐶=(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·(𝑂𝐴+𝑂𝐵)−(𝑂𝐴+𝑂𝐵)·2𝑂𝐶=|𝑂𝐴|2+2𝑂𝐴·𝑂𝐵+|𝑂𝐵|2−2𝑂𝐴·𝑂𝐶−2𝑂𝐵·𝑂𝐶=1+2×1×1×12+1−2×1×1×12−2×1×1×12=3−2=1.典例透析题型一题型二题型三题型四利用数量积证明垂直【例2】已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC.求证:OA⊥BC.分析:结合图形,利用向量知识证明OA⊥BC,就是证明𝑂𝐴·𝐵𝐶=0.证明:∵OB=OC,AB=AC,OA=OA,∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC=∠AOB.∴𝑂𝐴·𝐵𝐶=𝑂𝐴·(𝑂𝐶−𝑂𝐵)=𝑂𝐴·𝑂𝐶−𝑂𝐴·𝑂𝐵=|𝑂𝐴||𝑂𝐶|cos∠AOC-|𝑂𝐴||𝑂𝐵|·cos∠AOB=0,∴𝑂𝐴⊥𝐵𝐶,即OA⊥BC.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量积为零的问题.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.证明:设𝐶𝐵=a,𝐶𝐷=b,𝐶𝐶1=c,则|a|=|b|.∵𝐵𝐷=𝐶𝐷−𝐶𝐵=b-a,∴𝐵𝐷·𝐶𝐶1=(b-a)·c=b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0.∴𝐶1𝐶⊥𝐵𝐷,即C1C⊥BD.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四利用数量积求异面直线所成的角【例3】已知空间四边形O-ABC的各边及对角线的长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值.分析:利用𝑂𝐸·𝐵𝐹=|𝑂𝐸||𝐵𝐹|cos𝑂𝐸,𝐵𝐹,先求出向量𝑂𝐸与𝐵𝐹夹角的余弦值,再转化为求异面直线所成的角的余弦值.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图所示.设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,且|a|=|b|=|c|=1.易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=π3,则a·b=b·c=c·a=12.因为𝑂𝐸=12(a+b),𝐵𝐹=12𝐜−b,|𝑂𝐸|=|𝐵𝐹|=32,所以𝑂𝐸·𝐵𝐹=12(a+b)·12𝑐-𝑏=14𝐚·c+14𝐛·c−12𝐚·b−12|b|2=−12,所以cos𝑂𝐸,𝐵𝐹=𝑂𝐸·𝐵𝐹|𝑂𝐸||𝐵𝐹|=−23.所以异面直线OE与BF所成的角的余弦值是23.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思根据空间两个向量数量积的定义:a·b=|a||b|·cosa,b,得空间两个向量a,b的夹角的余弦值cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|,这是求空间两向量夹角的重要方法.需要注意的是两条异面直线所成角的范围是0,π2,而两个向量夹角的范围是[0,π],所以在处理此类题目时应注意符号,即若两条异面直线所成的角为θ,其对应的两个向量的夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:𝐴1𝑀=𝐴1𝐷+𝐷𝑀=𝐷1𝐷+𝐴1𝐷1+12𝐷𝐶,𝐷𝑁=𝐷𝐶+𝐶𝑁=𝐷𝐶+12𝐶𝐶1,则cos𝐴1𝑀,𝐷𝑁=𝐴1𝑀·𝐷𝑁|𝐴1𝑀|·|𝐷𝑁|=𝐷1𝐷+𝐴1𝐷1+12𝐷𝐶·𝐷𝐶+12𝐶𝐶1|𝐴1𝑀|·|𝐷𝑁|=-12𝐷𝐷12+12𝐷𝐶2|𝐴1𝑀|·|𝐷𝑁|=0.故𝐴1𝑀,𝐷𝑁≥90°,即异面直线A1M与DN所成角的大小为90°.答案:90°题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五利用数量积求两点间的距离或线段的长度【例4】在棱长为a的正四面体ABCD中,M,N分别是棱AB,CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=12|𝑁𝐷|,求|𝑀𝑁|.分析:将求|MN|转化为求向量𝑀𝑁的模,先将向量𝑀𝑁分解,再根据数量积的运算性质进行求解.解:因为𝑀𝑁=𝑀𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝑁=23𝐴𝐵+(𝐴𝐶−𝐴𝐵)+13(𝐴𝐷−𝐴𝐶)=−13𝐴𝐵+13𝐴𝐷+23𝐴𝐶.所以𝑀𝑁2=19𝐴𝐵2−29𝐴𝐷·𝐴𝐵−49𝐴𝐵·𝐴𝐶+49𝐴𝐶·𝐴𝐷+19𝐴𝐷2+49𝐴𝐶2=19𝑎2−19𝑎2−29𝑎2+29𝑎2+19𝑎2+49𝑎2=59𝑎2.故|𝑀𝑁|=53𝑎,即|MN|=53𝑎.典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思求两点间的距离或线段长度的方法如下:(1)将此线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=𝑎2,通过计算求出|a|,即得所求距离.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D两点间的距离.分析:画出立体图,结合已知知识用长度与夹角均已知的向量表示出:𝐵𝐷=𝐵𝐴+𝐴𝐶+𝐶𝐷,而𝐵𝐴与𝐴𝐶,𝐴𝐶与𝐶𝐷,𝐴𝐵与𝐶𝐷的夹角及其模均易知.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,∵∠ACD=90°,∴𝐴𝐶·𝐶𝐷=0.同理,𝐵𝐴·𝐴𝐶=0.∵AB与CD成60°角,∴𝐵𝐴,𝐶𝐷=60°或120°.∵𝐵𝐷=𝐵𝐴+𝐴𝐶+𝐶𝐷,∴𝐵𝐷2=𝐵𝐴2+𝐴𝐶2+𝐶𝐷2+2𝐵𝐴·𝐴𝐶+2𝐵𝐴·𝐶𝐷+2𝐴𝐶·𝐶𝐷=𝐵𝐴2+𝐴𝐶2+𝐶𝐷2+2𝐵𝐴·𝐶𝐷=3+2×1×1×cos𝐵𝐴,𝐶𝐷=4,当𝐵𝐴,𝐶𝐷=60°时,2,当𝐵𝐴,𝐶𝐷=120°时.∴|𝐵𝐷|=2或2,即B,D两点间的距离为2或2.题型五典例透析题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析易错点对空间向量夹角的概念理解不清而致错【例5】已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则四个数量积:①2𝐵𝐴·𝐴𝐶;②2𝐴𝐷·𝐵𝐷;③2𝐺𝐹·𝐴𝐶;④2𝐸𝐹·𝐶𝐵中,结果为𝑎2的式子的序号是_________________.错解:如图,2𝐵𝐴·