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-1-3.1.2空间向量的数乘运算目标导航1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,会证明空间三点共线与四点共面问题.知识梳理1.数乘的定义及运算律(1)实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa,称为向量的数乘运算.①λa的长度是|λ||a|.②λa的方向:当λ0时,λa与a同向;当λ0时,λa与a反向.(2)空间向量的数乘运算律分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb;结合律:λ(μa)=(λμ)a.名师点拨对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量.(2)λa=0⇔λ=0或a=0.(3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律仍然适用于空间向量.知识梳理【做一做1-1】已知三棱锥A-BCD的每个面都是正三角形,M,N分别是AB,CD的中点.设𝐵𝐴=a,𝐵𝐶=b,𝐵𝐷=c,则𝑀𝑁等于()A.12(a+b+c)B.12(a+c-b)C.12(b+c-a)D.12(a+b-c)答案:C【做一做1-2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1的中点,若𝐴𝑀=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝑘𝐶1𝐶,则实数𝑘的值等于_______________.解析:由已知得𝐴𝑀=𝐴𝐶+𝐶𝑀=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝑘𝐶1𝐶,所以𝐶𝑀=𝑘𝐶1𝐶,于是k=−12.答案:−12知识梳理③方向向量:如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使𝑂𝑃=𝑂𝐴+𝑡a,其中向量a叫做直线l的方向向量.在直线l上取𝐴𝐵=a,则*式可化为𝑂𝑃=(1−𝑡)𝑂𝐴+𝑡𝑂𝐵.此推论可以用来判断三点共线.2.共线向量与共面向量(1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.②对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.知识梳理(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.知识梳理【做一做2-1】下列说法正确的是()A.a(a≠0)与λa方向相同C.直线l的方向向量一定在直线l上D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量解析:选项A中若λ0,则λa与a反向;选项B中,两向量不能作除法;选项C中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上.答案:DB.若a=λb(b≠0),则λ=𝑎𝑏知识梳理【做一做2-2】下列说法正确的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案:D重难聚焦1.向量共线的充要条件及其应用剖析(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义.(2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b,则b∥a;但不具有传递性,即当a∥b,b∥c时,不一定有a∥c.(3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.(4)用上述结论证明(或判断)三点A,B,C共线时,只需证明存在实数λ,使𝐴𝐵=𝜆𝐵𝐶(或𝐴𝐵=𝜆𝐴𝐶)即可;也可用“对空间任意一点O,有𝑂𝐶=𝑡𝑂𝐴+(1−𝑡)𝑂𝐵”来证明三点共线.重难聚焦2.向量共面的充要条件及其应用剖析:(1)空间一点P位于平面MAB内的充要条件是:存在有序实数对(x,y),使𝑀𝑃=𝑥𝑀𝐴+𝑦𝑀𝐵.满足这个关系式的点P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用来证明四点共面.(2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一点O,都有𝑂𝑃=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵+𝑧𝑂𝐶,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面”作为判定空间中四点共面的依据.典例透析题型一题型二题型三题型四空间向量的数乘运算【例1】已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值:(1)𝑂𝑄=𝑃𝑄+𝑥𝑃𝐶+𝑦𝑃𝐴;(2)𝑃𝐴=𝑥𝑃𝑂+𝑦𝑃𝑄+𝑃𝐷.分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)如图所示,𝑂𝑄=𝑃𝑄+𝑂𝑃,由向量加法的平行四边形法则可得𝑃𝑂=12(𝑃𝐶+𝑃𝐴),故𝑂𝑃=−12𝑃𝐶−12𝑃𝐴,∴𝑂𝑄=𝑃𝑄+𝑂𝑃=𝑃𝑄−12𝑃𝐶−12𝑃𝐴.∴x=−12,𝑦=−12.(2)∵𝑃𝐴=𝑃𝐷+𝐷𝐴=𝑃𝐷+2𝑄𝑂=𝑃𝐷+2(𝑃𝑂−𝑃𝑄)=𝑃𝐷+2𝑃𝑂−2𝑃𝑄.∴x=2,y=-2.反思对于这类题目,应结合图形,充分利用向量平移来处理向量的加减运算和数乘运算.此外,在△ABC中,若D为BC边中点,则有𝐴𝐷=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶),这一结论应用非常广泛,应熟记.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若A是△BCD所在平面外一点,点G是△BCD的重心,求证:𝐴𝐺=13(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐴𝐷).证明:如图,连接BG,延长后交CD于点E,由G为△BCD的重心,知𝐵𝐺=23𝐵𝐸.由题意知E为CD的中点,则𝐵𝐸=12𝐵𝐶+12𝐵𝐷,𝐴𝐺=𝐴𝐵+𝐵𝐺=𝐴𝐵+23𝐵𝐸=𝐴𝐵+13(𝐵𝐶+𝐵𝐷)=𝐴𝐵+13(𝐴𝐶−𝐴𝐵+𝐴𝐷−𝐴𝐵)=13(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐴𝐷).典例透析题型一题型二题型三题型四向量共线与三点共线问题【例2】如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断𝐶𝐸与𝑀𝑁是否共线.分析:要判断𝐶𝐸与𝑀𝑁是否共线,就是看是否存在实数x,使𝐶𝐸=𝑥𝑀𝑁.典例透析题型一题型二题型三题型四解:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝐹+𝐹𝑁=12𝐶𝐴+𝐴𝐹+12𝐹𝐵.又𝑀𝑁=𝑀𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐵+𝐵𝑁=−12𝐶𝐴+𝐶𝐸−𝐴𝐹−12𝐹𝐵,∴2𝑀𝑁=12𝐶𝐴+𝐴𝐹+12𝐹𝐵−12𝐶𝐴+𝐶𝐸−𝐴𝐹−12𝐹𝐵=𝐶𝐸,即𝐶𝐸=2𝑀𝑁.∴𝐶𝐸与𝑀𝑁共线.反思判断两个向量a,b是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数x,使a=xb.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出a=xb,从而a∥b.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且𝐴1𝐸=2𝐸𝐷1,点𝐹在对角线𝐴1𝐶上,且𝐴1𝐹=23𝐹𝐶.求证:𝐸,𝐹,𝐵三点共线.证明:设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c.因为𝐴1𝐸=2𝐸𝐷1,𝐴1𝐹=23𝐹𝐶,所以𝐴1𝐸=23𝐴1𝐷1,𝐴1𝐹=25𝐴1𝐶.因此𝐴1𝐸=23𝐴𝐷=23𝐛,𝐴1𝐹=25𝐴𝐶−𝐴𝐴1=25(𝐴𝐵+𝐴𝐷−𝐴𝐴1)=25𝐚+25𝐛−25𝐜,所以𝐸𝐵=𝐸𝐴1+𝐴1𝐴+𝐴𝐵=−23𝐛−c+a=a−23𝐛−c,𝐸𝐹=𝐴1𝐹−𝐴1𝐸=25𝐚−415𝐛−25𝐜=25𝑎-23𝑏-𝑐.于是𝐸𝐹=25𝐸𝐵.又因为𝐸𝐹与𝐸𝐵有公共点E,故E,F,B三点共线.典例透析题型一题型二题型三题型四三个向量共面与四点共面问题【例3】已知A,B,C三点不共线,平面ABC外的一点O满足𝑂𝑀=13𝑂𝐴+14𝑂𝐵+512𝑂𝐶.(1)判断𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.分析:要判断三个向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面,只需判断是否存在实数x,y,使𝑀𝐴=𝑥𝑀𝐵+𝑦𝑀𝐶即可;证明了三个向量共面,即可说明点M就在平面内.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)因为𝑂𝑀=13𝑂𝐴+14𝑂𝐵+512𝑂𝐶,所以12𝑂𝑀=4𝑂𝐴+3𝑂𝐵+5𝑂𝐶.所以4𝑂𝐴−4𝑂𝑀=(3𝑂𝑀−3𝑂𝐵)+(5𝑂𝑀−5𝑂𝐶),因此4𝑀𝐴=3𝐵𝑀+5𝐶𝑀=−3𝑀𝐵−5𝑀𝐶,即𝑀𝐴=−34𝑀𝐵−54𝑀𝐶,故向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面.(2)由(1)知向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面,三个向量有公共点M,故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.典例透析题型一题型二题型三题型四反思证明共面问题的基本方法(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明:①𝑀𝑃=𝑥𝑀𝐴+𝑦𝑀𝐵;②对于空间任意一点O,𝑂𝑃=𝑂𝑀+𝑥𝑀𝐴+𝑦𝑀𝐵;③对于空间任意一点O,𝑂𝑃=𝑥𝑂𝑀+𝑦𝑂𝐴+𝑧𝑂𝐵(𝑥+𝑦+𝑧=1).典例透析题型一题型二题型三题型四证明:因为点M在BD上,且BM=13𝐵𝐷,所以𝑀𝐵=13𝐷𝐵=13𝐷𝐴+13𝐴𝐵.同理𝐴𝑁=13𝐴𝐷+13𝐷𝐸.所以𝑀𝑁=𝑀𝐵+𝐵𝐴+𝐴𝑁=13𝐷𝐴+13𝐴𝐵+𝐵𝐴+13𝐴𝐷+13𝐷𝐸=23𝐵𝐴+13𝐷𝐸=23𝐶𝐷+13𝐷𝐸.又𝐶𝐷与𝐷𝐸不共线,根据向量共面的充要条件可知𝑀𝑁,𝐶𝐷,𝐷𝐸共面.【变式训练3】如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13𝐵𝐷,𝐴𝑁=13𝐴𝐸.求证:向量𝑀𝑁,𝐶𝐷,𝐷𝐸共面.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点混淆了平面与空间致错【例4】已知非零向量e1,e2不共线,如果𝐴𝐵=e1+e2,𝐴𝐶=2e1+8e2,𝐴𝐷=3e1-3e2,那么下列结论正确的是()A.A,B,C,D四点共线B.A,B,C,D四点共面C.A,B,C,D四点不共面D.无法确定错解:∵𝐴𝐵=e1+e2,𝐴𝐶+𝐴𝐷=5e1+5e2=5𝐴𝐵,∴A,B,C,D四点共线.故选A.典例透析题型一题型二题型三题型四错因分析混淆了空间向量与平面向量中的相关结论.从而A,B,C,D四点共面.答案:B反思在平面向量中,若a=λb(b≠0),则a与b共线;在空间向量中,若a=λb+μc(b与c不共线),则a,b,c共面.由𝐴𝐵=15(𝐴𝐶+𝐴𝐷)=15𝐴𝐶+15𝐴𝐷,知𝐴𝐵与𝐴𝐶和𝐴𝐷共面.正解由错解知𝐴𝐵=15𝐴𝐶+15𝐴𝐷,则𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐷共面.典例透析