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3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.1.四种函数模型的性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)y=kx+b(k0)在区间(0,+∞)内的增减性增函数增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n值而不同直线上升【做一做1】函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出两个函数的图象,在第一象限中有2个交点,在第二象限中有1个交点,即共有3个交点.答案:D2.三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数.一般地,对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)内,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.(2)对数函数和幂函数.对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+∞)内,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn.(3)指数函数、对数函数和幂函数.在区间(0,+∞)内,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当xx0时,就有logaxxnax.【做一做2】当x4时,a=4x,b=log4x,c=x4,则有()A.abcB.bacC.cabD.bca答案:D几类常见函数模型的增长特点剖析(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0).现实生活中很多事例可以用直线模型来表示,例如,匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长量与拉力的关系等.直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k0),通过图象可以很直观地认识它.(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型y=k·ax+b(k≠0)叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a1,ax的系数k0),常形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力.(3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型y=klogax+b(k≠0)叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1,logax的系数k0),函数值增大的速度越来越慢.题型一题型二题型三选择函数描述变化规律【例1】四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.解析:以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.答案:y2x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907题型一题型二题型三反思选择函数描述变化规律时,当增长速度最快且呈“爆炸”式增长时,常选择指数函数模型来描述;当增长速度较慢时,常选择对数函数模型来描述;当增长速度相对平稳时,常选择幂函数模型来描述;当增长的速度不变时,常选择一次函数模型来描述.题型一题型二题型三【变式训练1】今有一组实验数据如下:现准备用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是()t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01A.v=log2tB.v=log12𝑡C.𝑣=𝑡2-12D.𝑣=2𝑡−2解析:代入t检验,函数v=𝑡2-12最接近.答案:C题型一题型二题型三函数模型的选择问题【例2】某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(单位:t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?分析:根据条件分别求出f(x),g(x)的解析式,再代入x=4,求出f(4),g(4)与137作比较,与137最接近的值对应的函数作为模拟函数较好.题型一题型二题型三解:根据题意可列方程组𝑓(1)=𝑎+𝑏+𝑐=100,𝑓(2)=4𝑎+2𝑏+𝑐=120,𝑓(3)=9𝑎+3𝑏+𝑐=130.解得𝑎=-5,𝑏=35,𝑐=70.所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.题型一题型二题型三反思建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素,主要变量,尽量建立较简便的模型.(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.题型一题型二题型三【变式训练2】某汽车制造商在2019年初公告:公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:如果我们分别将2016,2017,2018,2019定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?年份201620172018产量/万辆81830题型一题型二题型三解:建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得𝑎+𝑏+𝑐=8,4𝑎+2𝑏+𝑐=18,9𝑎+3𝑏+𝑐=30,解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.题型一题型二题型三(2)构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b0,b≠1),将点坐标代入,可得𝑎𝑏+𝑐=8,𝑎𝑏2+𝑐=18,𝑎𝑏3+𝑐=30,解得a=1253,𝑏=65,𝑐=−42,则g(x)=1253·65𝑥−42,故g(4)=1253·654−42=44.4,与计划误差为1.4.由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.题型一题型二题型三易混易错题易错点提取图象信息错误而导致解题错误【例3】已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动,其位移y(单位:km)和运动时间x(单位:h)(0≤x≤5)的关系如图所示,给出以下说法:①甲、乙运动的速度相同,都是5km/h;②甲、乙运动的时间相同,开始运动后相等时间内甲的位移比乙大;③甲、乙运动的时间相同,乙的速度是4km/h;④当甲、乙运动了3h后,甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km处.其中正确的说法是()A.③B.①②③C.①③④D.②③④题型一题型二题型三错解经分析,③是对的,故①错;对于②,因为乙的图象在甲的上方,所以应是甲的位移比乙小,故②错误;对于④,当甲、乙运动了3h后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为5+3×4=17(km),故④错误.故选A.错因分析:错解中因对乙出发点的位置理解不准确导致②④出错.正解:经分析③是对的,故①错;对于②,甲、乙运动的时间显然都是5h,因为甲的速度为5km/h,乙的速度为4km/h,所以开始运动后相等时间内甲的位移比乙大,故②正确;对于④,当甲、乙运动了3h后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为3×4=12(km).又因为乙是从甲前方5km处开始运动的,所以甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km处,所以④正确,故选D.题型一题型二题型三反思图表型应用问题是高考中一道亮丽的风景线.这类试题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等)即可得到完美的解决.题型一题型二题型三【变式训练3】甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析:由图可知,甲与乙同时出发,甲的速度大,甲先到达终点.答案:D