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-1-章末整合知识网络系统构建专题突破深化提升专题一专题二专题三专题一求函数的值域例1求下列函数的值域:(1)y=5𝑥-14𝑥+2;(2)y=𝑥2-4𝑥+32𝑥2-𝑥-1;(3)y=2𝑥2+4𝑥-7𝑥2+2𝑥+3;(4)y=2x-𝑥-1.专题突破深化提升专题一专题二专题三解:(1)(借助反比例函数的特征求解)y=5𝑥-14𝑥+2=54(4𝑥+2)-1-524𝑥+2=54(4𝑥+2)-724𝑥+2=54−72(4𝑥+2).∵72(4𝑥+2)≠0,∴y≠54.所以函数的值域为𝑦∈R𝑦≠54.(2)∵y=𝑥2-4𝑥+32𝑥2-𝑥-1=(𝑥-1)(𝑥-3)(𝑥-1)(2𝑥+1)=𝑥-32𝑥+1(x≠1),又𝑥-32𝑥+1=12(2𝑥+1)-722𝑥+1=12−72(2𝑥+1).当x=1时,原式y=1-32×1+1=-23.∴函数的值域为𝑦∈R𝑦≠12且𝑦≠-32.专题突破深化提升专题一专题二专题三(3)(转化为关于x的二次方程,然后利用判别式求值域)已知函数式可变形为:yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程.∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.解得-92≤y2.当y=2时,3×2+7≠0,∴y≠2.∴函数的值域为-92,2.(4)令𝑥-1=t,则t≥0,x=t2+1.∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2t-142+158.∵t≥0,∴y≥158.∴函数y=2x-𝑥-1的值域是158,+∞.专题突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧求函数值域的方法(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);用判别式法求值域,但要注意以下三个问题:一是检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须为既约分式.(2)形如y=ax+b±𝑐𝑥+𝑑的形式,可用换元法,即设t=𝑐𝑥+𝑑,转化成二次函数再求值域(注意t≥0);(3)形如y=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑(c≠0)型的函数可借助反比例函数,求其值域,或用后面将要学到的反函数法求值域,这类函数的值域为𝑦𝑦≠𝑎𝑐;(4)形如y=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝(a,m中至少有一个不为零)的函数求值域,可专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练1已知函数f(x)的值域是14,4,求g(x)=f(x)-2𝑓(𝑥)的值域.解:因为f(x)∈14,4,所以𝑓(𝑥)∈12,2,设𝑓(𝑥)=t∈12,2,所以h(t)=t2-2t=(t-1)2-1∈[-1,0],所以函数g(x)的值域为[-1,0].专题突破深化提升专题一专题二专题三专题二利用函数单调性求函数的最值例2设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)讨论函数f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数.当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.专题突破深化提升专题一专题二专题三(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=x-122+a+34.若a≤12,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.若a12,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f12=34+a,且f12f(a).②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=x+122-a+34.若a≤-12,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f-12=34-a,且f-12≤f(a).若a-12,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上,当a≤-12时,函数f(x)的最小值是34-a;当-12a≤12时,函数f(x)的最小值是a2+1.当a12时,函数f(x)的最小值是a+34.专题突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧解含参数问题的基本思想是分类讨论,关键是确定讨论的标准,要求不重复,不遗漏.本题对于奇偶性的讨论标准是参数为零以及非零,分别对应偶函数及非奇非偶函数;对于最大值与最小值的讨论标准比较复杂,可以看为两类标准,一类是绝对值的零点(零点知识将在第四章学习),二是抛物线的对称轴与相应区间的位置,通常需借助函数的图象.专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练2已知函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a0)上最大值为3,最小值为2,求实数a的取值范围.解:f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.(1)当0a1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,a]上递减,故最大值为f(0)=3,最小值为f(a)=a2-2a+3=(a-1)2+22.所以0a1不合题意.(2)当a≥1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,1]上递减,在[1,a]上递增,故最小值为f(1)=2.又因为f(0)=3,所以f(0)≥f(a).此时,函数f(x)=x2-2x+3在[0,a]上的最大值为3,最小值为2.综上所述,a的取值范围是1≤a≤2.即𝑎≥1,𝑎2-2𝑎≤0,解得1≤a≤2.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题三函数的奇偶性的应用例3若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)0,求a的取值范围.解:由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)0等价于f(1-a)f(a2-1),又因为f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,方法技巧利用f(x)是奇函数和减函数的性质,去掉f,等价变换出a的不等式组.所以-1≤1-𝑎≤1,-1≤𝑎2-1≤1,1-𝑎𝑎2-1,解得1a≤2.专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练3若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),求a的取值范围.解:法一:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则-x1-x2,因为f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,所以f(-x1)f(-x2).又因为f(x)是偶函数,得f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数,所以f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+13a2-2a+1,解得0a3.因为2a2+a+1=2a2+12a+1=2a+142+78,3a2-2a+1=3a-132+23,专题突破深化提升专题一专题二专题三法二:同法一,判断出2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数,则有-(2a2+a+1)0和-(3a2-2a+1)0.由偶函数性质,f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)等价于f[-(2a2+a+1)]f[-(3a2-2a+1)],又f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,即-(2a2+a+1)-(3a2-2a+1),解得0a3.专题突破深化提升