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-1-习题课单调性与奇偶性的综合应用首页课标阐释思维脉络1.理解函数奇偶性与单调性的关系.2.能运用函数的单调性与奇偶性等解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.课前篇自主预习奇、偶函数在对称区间上的单调性1.(1)已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+∞)是增函数.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何?提示:奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.(2)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是奇函数,∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),∴-f(x1)-f(x2),∴f(x1)f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.课前篇自主预习(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上是增函数还是减函数?提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.(4)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.课前篇自主预习2.填空(1)若函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相同.(2)若函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在其对称区间−𝑏,−𝑎上也是单调的,且单调性相反.课前篇自主预习3.做一做(1)若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是()A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.答案:C(2)若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,则f(-5),f(),f(-2),f(4)的大小关系为.3解析:因为f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因为3245,所以f(5)f(4)f(2)f(3).故f(-5)f(4)f(-2)f(3).答案:f(-5)f(4)f(-2)f(3)课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小例1已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)f(-3)f(-2)B.f(π)f(-2)f(-3)C.f(π)f(-3)f(-2)D.f(π)f(-2)f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵23π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,∴f(2)f(3)f(π),∴f(-2)f(-3)f(π).故选A.答案:A随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)f(3)f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以函数在R上是增函数,因为-3-2π,所以f(-3)f(-2)f(π).随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式例2已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.又f(1-m)f(m),所以-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,1-𝑚𝑚,即-1≤𝑚≤3,-2≤𝑚≤2,𝑚12.解得-1≤m12.故实数m的取值范围是-1≤m12.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上是减函数,所以函数在[0,2]上是增函数,不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),故可得-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,|1-𝑚||𝑚|,即-1≤𝑚≤3,-2≤𝑚≤2,𝑚12,解得12m≤2.故实数m的取值范围为12,2.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练判断抽象函数的奇偶性典例已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:函数f(x)为奇函数.证明:由题意可知,函数的定义域为R,关于原点对称.令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.反思感悟判断抽象函数的奇偶性主要是利用赋值法,并结合已知条件寻找f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:函数f(x)为偶函数.证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(6)B.f(4)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(4)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(4)f(1),f(4)f(-1).答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练2.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则()A.f-32f(-1)f(2)B.f(-1)f-32f(2)C.f(2)f(-1)f-32D.f(2)f-32f(-1)解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),∵-2-32-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函数,∴f(-2)f-32f(-1).故选D.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练3.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有解析:由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(3)f(2)f(1).再由偶函数的性质得f(3)f(-2)f(1).答案:f(3)f(-2)f(1)𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥20,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是.解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,∴不等式f(1-m)f(m)等价为f(|1-m|)f(|m|),即|1-m||m|,平方得1-2m+m2m2,即2m1,得m12,即实数m的取值范围是-∞,12.答案:-∞,12课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:∵f(3a-10)+f(4-2a)0,∴f(3a-10)-f(4-2a),∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4),∴f(3a-10)f(2a-4).又f(x)在R上是减函数,∴3a-102a-4,∴a6.故a的取值范围为(6,+∞).课堂篇探究学习