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-1-3.2.2奇偶性首页课标阐释思维脉络1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.会判断(或证明)函数奇偶性.课前篇自主预习一二一、偶函数1.(1)观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.课前篇自主预习2.填空(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.(2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.一二(2)对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系?提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.(3)一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.课前篇自主预习一二3.做一做:下列函数中,是偶函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x+x3答案:A1𝑥课前篇自主预习一二二、奇函数1.(1)观察函数f(x)=x和f(x)=的图象(如图),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.(2)对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).1𝑥课前篇自主预习2.与偶函数定义类似,试仿照填空(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.一二(3)一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.课前篇自主预习一二3.做一做(1)函数f(x)=-x的图象关于()对称.A.y轴B.直线y=-xC.坐标原点D.直线y=x(2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是()1𝑥课前篇自主预习一二解析:(1)因为f(x)=-x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.(2)选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.答案:(1)C(2)B1𝑥课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2𝑥2+2𝑥𝑥+1;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=1-𝑥2+𝑥2-1;(4)f(x)=𝑥(1-𝑥),𝑥0,𝑥(1+𝑥),𝑥0.分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.(3)由1-𝑥2≥0,𝑥2-1≥0,得x2=1,即x=±1.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x0时,-x0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x0时,-x0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(方法二)函数f(x)=𝑥(1-𝑥),𝑥0,𝑥(1+𝑥),𝑥0的图象如图所示.图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练(2)图象法:课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练变式训练判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3𝑥𝑥2+3;(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.解:(1)f(x)的定义域是R,又f(-x)=3(-𝑥)(-𝑥)2+3=-3𝑥𝑥2+3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析:(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x0时,-x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为f(x)=-2𝑥2+3𝑥+1,𝑥0,0,𝑥=0,2𝑥2+3𝑥-1,𝑥0.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练反思感悟1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解:当x0时,-x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为f(x)=-2𝑥2+3𝑥+1,𝑥≥0,-2𝑥2-3𝑥+1,𝑥0.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x0时,f(x)0,则()A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x1x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),由于x2-x10,所以f(x2-x1)0,故f(x2)f(x1),所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练反思感悟1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2019,则下列说法正确的是()A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2019是奇函数D.f(x)+2019是奇函数解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2019,即f(0)=-2019.令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2019,即f(α)+f(-α)=-4038,则f(-α)+2019=-2019-f(α)=-[2019+f(α)],即f(x)+2019是奇函数,故选D.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()A.-1B.1C.0D.2解析:因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.答案:A2.函数y=𝑥2(𝑥+4)𝑥+4()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=()A.-1B.-3C.1D.3解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.答案:B4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.答案:4课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2𝑥+1,试求f(x)的解析式.解:当x0时,-x0,此时f(x)=f(-x)=2-𝑥+1,所以f(x)=2𝑥+1,𝑥≥0,2-𝑥+1,𝑥0,即f(x)=2|𝑥|+1.课堂篇探究学习探究一探究二思想方法随堂演练解法一函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x0时,-x0,f(-x)=-12(-x)2-1=-12𝑥2+1=-f(x).当x0时,-x0,f(-x)=12(-x)2+1=12x2+1=--12𝑥2-1=-f(x).6.判断函数f(x)=12𝑥2+1(𝑥0),-12𝑥2-1(𝑥0)的奇偶性.综上所述,在(-∞,0)∪(0,+∞)上总有f(-x)=-f(x).因此函数f(x)是奇函数.解法二作出函数的图象,如图所示