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-1-第2课时函数的最大(小)值首页课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.课前篇自主预习一二一、函数的最大(小)值的定义1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象,这三个函数的图象上有没有最高点?提示:都有最高点,分别为点A、B、C.(2)从点的坐标角度,如何理解函数图象的最高点?提示:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.课前篇自主预习一二(3)如图③所示,图象上最高点C的坐标为(x0,f(x0)),在图象上任取一点A(x,f(x)),f(x)与f(x0)有什么关系?提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对∀x∈I,都有f(x)≤M;②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①∀x∈I,都有f(x)≥M;②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.课前篇自主预习一二(6)是否每个函数都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的点有几个?举例说明.提示:一个函数不一定有最值,例如y=在定义域内没有最大值也没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=-2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.1𝑥课前篇自主预习一二2.做一做已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C课前篇自主预习一二二、函数的单调性与最大(小)值1.(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,它一定有最值吗?如果有,最值是什么?提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数的最小值为ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a).(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增(或减)函数,这个函数有最值吗?活动方案:启发学生画一个符合条件的函数草图,注意端点不在区间内,然后回答.提示:不存在最值,但可以说函数y=f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a),f(b))[或(f(b),f(a))].课前篇自主预习一二(3)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],acb.当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数.试证明:f(x)在x=c时取得最大值.提示:因为当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.2.做一做函数y=x2-4x+1在[-2,0]上的最大值是,最小值是.解析:函数y=x2-4x+1在[-2,0]上单调递减,故当x=2时,ymax=13,当x=0时,ymin=1.答案:131课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数的图象求函数的最值例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论.解:y=-|x-1|+2=3-𝑥,𝑥≥1,𝑥+1,𝑥1,函数图象如图所示.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知函数f(x)=1𝑥,0𝑥1,𝑥,1≤𝑥≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.4𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练∵x1x2,∴x1-x20.当1≤x1x2≤2时,x1x20,1x1x24,即x1x2-40.∴f(x1)f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.42解:(1)∀x1,x2∈[1,2],且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+4𝑥1−4𝑥2=(x1-x2)1-4𝑥1𝑥2=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-4)𝑥1𝑥2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.解:∀x1,x2∈[1,3],且x1x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-4)𝑥1𝑥2.当1≤x1x2≤2时,f(x1)f(x2),f(x)在区间[1,2]上为减函数;当2x1x2≤3时,x1x20,4x1x29,即x1x2-40,∴f(x1)f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上是增函数.∴f(x)的最小值为f(2)=2+42=4.∵f(3)=3+43=133f(1)=5,∴f(x)的最大值为5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练与最值有关的应用问题例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析:读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12,所以此时租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x元,租赁公司的月收益为y=100-𝑥-300050(x-150)-𝑥-300050×50,整理得y=-𝑥250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.所以当x=4050,即每辆车的租金为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307050元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般程序是:(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=400𝑥-12𝑥2(0≤𝑥≤400),80000(𝑥400).其中x是仪器的月产量.解:(1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x,从而f(x)=-12𝑥2+300𝑥-20000(0≤𝑥≤400),60000-100𝑥(𝑥400).(2)当0≤x≤400时,f(x)=-12(x-300)2+25000;∴当x=300时,f(x)max=25000,当x400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)60000-100×40025000.∴当x=300时,f(x)max=25000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的相对位置关系→结合单调性与图象求解解:y=(x-a)2-1-a2.当a0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练当1a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a2时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:对称轴x=h与[m,n]的位置关系f(x)的单调性最大值最小值hm在[m,n]上单调递增f(n)f(m)hn在[m,n]上单调递减f(m)f(n)m≤h≤nm≤h