搜索
-1-第1课时函数的单调性首页课标阐释思维脉络1.理解增函数和减函数的定义.2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.课前篇自主预习一二一、增函数和减函数的定义1.(1)画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?提示:根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图象如下.函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.课前篇自主预习一二(2)如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.(3)用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?提示:在给定区间上,∀x1,x2,且x1x2,则f(x1)f(x2).在给定区间上,∀x1,x2且x1x2,则f(x1)f(x2).(4)增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”改为“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”,这样可以吗?提示:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等号“”,步调一致;“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”也是相同的不等号“”,步调也一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.课前篇自主预习一二2.填表增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)那么就称函数f(x)在区间D上单调递增那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象特征函数f(x)在区间D上的图象是上升的函数f(x)在区间D上的图象是下降的图示课前篇自主预习一二3.做一做(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是.(填“增函数”或“减函数”)(2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是.(填“增函数”或“减函数”)答案:(1)减函数(2)增函数课前篇自主预习一二二、函数的单调性与单调区间1.(1)“函数y=f(x)在区间D上是增函数”与“函数y=f(x)的单调递增区间为D”一样吗?提示:不一样.“函数y=f(x)的单调递增区间为D”,说明区间D是函数y=f(x)的所有单调递增区间;而“函数y=f(x)在区间D上是增函数”,只要函数在区间D上递增即可,区间D是整个单调增区间的子集.(2)函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),图象在第一、三象限内分别是单调递减的,能否说函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)?提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.1𝑥1𝑥课前篇自主预习一二(3)写一个函数的单调区间时,是否只能写成开区间?提示:不是.对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时必须去掉,因此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,需开则开”.2.填空如果函数y=f(x)在区间D上单调递增(或单调递减),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.课前篇自主预习一二3.做一做(1)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x)在(0,+∞)上为()A.增函数B.减函数C.先增后减D.不能确定(2)函数y=的单调递减区间是()A.[0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)和(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)(3)根据下图写出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.1𝑥课前篇自主预习一二(1)解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.答案:D(2)解析:函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故其单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).答案:C(3)解:函数在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.1𝑥课前篇自主预习一二4.判断正误:(1)若函数f(x)在区间I上是减函数,且非空数集D⊆I,则f(x)在D上也是减函数.()(2)若函数f(x)在定义域[a,b]上是增函数,且f(x1)f(x2),则a≤x1x2≤b.()答案:(1)√(2)√课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1𝑥.分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.(2)函数y=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.1𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开.2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k0时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-为分界线.𝑏2𝑎a的符号单调性a0在-∞,-b2a上是增函数,在-b2a,+∞上是减函数a0在-∞,-b2a上是减函数,在-b2a,+∞上是增函数(3)反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的单调性如下表所示.k的符号单调性k0在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数k0在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].解:f(x)=x|x-2|=𝑥(𝑥-2),𝑥≥2,𝑥(2-𝑥),𝑥2,图象如下图所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明函数的单调性例2求证:函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.1𝑥分析:∀x1,x2∈(0,1),且x1x2,只需证明f(x1)f(x2)即可.证明:∀x1,x2∈(0,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=𝑥1+1𝑥1−𝑥2+1𝑥2=(x1-x2)+𝑥2-𝑥1𝑥1𝑥2=(x1-x2)1-1𝑥1𝑥2=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-1)𝑥1𝑥2.∵0x1x21,∴x1x20,x1x2-10,x1-x20,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故函数f(x)=x+1𝑥在区间(0,1)内为减函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练特别提醒作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性.解:函数f(x)=x+1𝑥在区间[1,+∞)上是增函数,证明如下:∀x1,x2∈[1,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=𝑥1+1𝑥1−𝑥2+1𝑥2=(x1-x2)+𝑥2-𝑥1𝑥1𝑥2=(x1-x2)1-1𝑥1𝑥2=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-1)𝑥1𝑥2.∵1≤x1x2,∴x1-x20,x1x2-10,x1x20.∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).∴函数f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数.1𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数单调性的应用例3已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小.分析:要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.34解:∵a2-a+1=𝑎-122+34≥34,∴34与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值.∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f34≥f(a2-a+1).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围.解:∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)g(1-3t),∴-2≤𝑡≤2,-2≤1-3𝑡≤2,𝑡1-3𝑡,即-2≤𝑡≤2,-13≤𝑡≤1,𝑡14,∴14t≤1.∴t的取值范围为14,1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错典例若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值集合是.错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.故实数a的取值集合为{a|a≤-3}.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为{-3}.答案:{-3}课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练纠错心得单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-∞,5]上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:因为函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-∞,5]上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=-7(𝑎-3)4,所以-7(𝑎-3)4≥5,解得a≤17.故应填-∞,17.答案:-∞,17课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f