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-1-第1课时函数的表示法首页课标阐释思维脉络1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式.2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.课前篇自主预习一二一、函数的表示法1.(1)初中学过的3种常用的函数的表示方法是如何定义的?提示:①解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;②图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;③列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(2)教材P60~P61问题1~问题4,分别是用什么方法表示函数的?提示:问题1、2是用解析法,问题3是用图象法,问题4是用列表法.课前篇自主预习一二(3)函数的三种表示方法各有什么优缺点?提示:课前篇自主预习一二(4)做一做某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.①函数的定义域是什么?提示:{1,2,3,4,5}②y与x有何关系?提示:y=0.5x③试用表格表示y与x之间的关系.提示:表格如下:支数(x)12345钱数(y)0.511.522.5课前篇自主预习一二④试用图象表示y与x之间的关系.提示:图象如下:课前篇自主预习一二二、函数的图象1.(1)初中我们已研究过直线、反比例函数及二次函数的图象,请作出y=2x-1,y=,y=x2的图象.观察这些图象有什么共同特点?提示:共同的特点是由满足一定条件的点构成的,具体地说就是将函数y=f(x)中的自变量x作为横坐标、对应因变量y作为纵坐标描成点,所有的点即构成该函数的图象.(2)如何作出函数y=f(x)的图象?提示:将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)),自变量取遍函数定义域A的每个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A},这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象.1𝑥课前篇自主预习一二(3)怎样判断一个图象所表示的是不是y关于x的某个函数?提示:任作垂直于x轴的直线,若此直线与图象至多有一个交点,则图象即为某个函数的图象.(4)如何由函数图象确定其定义域和值域?提示:图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.2.做一做下列图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是()答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练列表法表示函数例1(一题多空题)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211g(x)321则f(g(1))=;当g(f(x))=2时,x=.分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.答案:11课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))=;当f(g(x))=2时,x=.解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.答案:23课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练求函数的解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,由恒等式的性质,得2𝑎=2,𝑎+𝑏=0,∴𝑎=1,𝑏=-1.∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.23课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟求函数解析式的四种常用方法1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;(2)已知f(𝑥+1)=x+2𝑥,求f(x)的解析式;(3)设函数f(x)满足f(x)+2f1𝑥=x(x≠0),求f(x).解:(1)∵f(x)为一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0).∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.∴𝑎2=2,𝑎𝑏+𝑏=-1,解得𝑎=2,𝑏=1-2或𝑎=-2,𝑏=1+2.故f(x)=2x+1-2或f(x)=-2x+1+2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)(方法一)f(𝑥+1)=(𝑥)2+2𝑥+1-1=(𝑥+1)2-1,其中𝑥+1≥1,故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1.(方法二)令𝑥+1=t,则x=(t-1)2,且t≥1,函数f(𝑥+1)=x+2𝑥可化为f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1.(3)因为对任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1𝑥=x成立,所以对于1𝑥∈R,且1𝑥≠0,有f1𝑥+2f(x)=1𝑥,两式组成方程组𝑓(𝑥)+2𝑓1𝑥=𝑥,①𝑓1𝑥+2𝑓(𝑥)=1𝑥,②②×2-①得,f(x)=132𝑥-𝑥.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数的图象及应用例3作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x3).分析:看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.解:(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).图①图②课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=2𝑥,x∈[2,+∞).解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.由图可知,函数的值域为[0,5].(2)当x=2时,y=1;当x=4时,y=12;当x=6时,y=13.图象如图所示.由图可知,函数的值域为(0,1].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽略变量的实际意义而致错典例如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.错解由题意,得△CQB∽△BAP,所以𝐶𝑄𝐵𝐴=𝐶𝐵𝐵𝑃,即𝑦3=4𝑥.所以y=12𝑥.故所求的函数表达式为y=12𝑥,其图象如图所示.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:以上解题过程中没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的取值范围而导致出错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:由题意,得△CQB∽△BAP,所以𝐶𝑄𝐵𝐴=𝐶𝐵𝐵𝑃,即𝑦3=4𝑥.所以y=12𝑥.连接BD,因为BA≤BP≤BD,而BA=3,CB=AD=4,所以BD=32+42=5,所以3≤x≤5.故所求的函数表达式为y=12𝑥(3≤x≤5).如图所示,曲线MN就是所求的函数图象.防范措施从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函数有意义,而且还要使实际问题有意义.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知一个面积为100cm2的等腰梯形,上底长为xcm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为()A.y=50x(x0)B.y=100x(x0)C.y=50𝑥(x0)D.y=100𝑥(x0)解析:由𝑥+3𝑥2·y=100,得2xy=100,所以y=50𝑥(x0).答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为()A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则有𝑎+𝑏=0,𝑏=1,所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上