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-1-3.2函数与方程、不等式之间的关系首页课标阐释思维脉络1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.课前篇自主预习一二三四-𝑚𝑘,0知识点一、函数的零点1.思考(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的条件是什么?提示:当Δ≥0,即b2-4ac≥0时,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根.(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?提示:交点坐标为,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.课前篇自主预习一二三四2.填空(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.(2)性质:①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.课前篇自主预习一二三四3.做一做下列函数中没有零点的是()A.f(x)=𝑥B.f(x)=x2C.f(x)=x2+xD.f(x)=1𝑥解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.由于函数f(x)=1𝑥中,对任意自变量x的值,均有1𝑥≠0,故函数不存在零点.答案:D课前篇自主预习一二三四知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系1.思考(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.(2)二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点吗?提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没有零点.课前篇自主预习一二三四(3)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为⌀,结论又如何?提示:①如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0;②如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为⌀,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0.课前篇自主预习一二三四2.填空设f(x)=ax2+bx+c(a0)Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=f(x)的图像f(x)的零点x1,x2x1(或x2)无零点f(x)=0的根有两个不等的实根x1,x2,且x1x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根f(x)0的解集{x|xx1或xx2}x|x≠-b2aRf(x)0的解集{x|x1xx2}⌀⌀课前篇自主预习一二三四3.做一做(1)已知-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,1A.{x|x-4或x3}B.{x|-4x3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}𝑎𝑥(2)函数y=𝑥2+𝑥-12的定义域是()课前篇自主预习一二三四解析:(1)∵-1是f(x)=+b的一个零点,∴b-a=0,即a=b.∴g(x)=ax2-bx=ax2-ax.∴g(x)的零点为0和1.(2)要使函数有意义,只需x2+x-12≥0.方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}.答案:(1)C(2)C𝑎𝑥课前篇自主预习一二三四知识点三、三、零点存在的判断方法及分类1.思考对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)0一定成立吗?提示:对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)·f(b)0,如图(2)所示.课前篇自主预习一二三四2.填空(1)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)·f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0.(2)分类:课前篇自主预习一二三四3.做一做若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上,则下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间[2,16)内无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C.答案:C课前篇自主预习一二三四知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法1.填空:(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:①在D内取一个闭区间[a0,b0]⊆D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)·f(b0)0,零点位于区间[a0,b0]中.课前篇自主预习一二三四②取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为x0=12(a0+b0).计算f(x0)和f(a0),并判断:如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a0)·f(x0)0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0;如果f(a0)·f(x0)0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.③取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为x1=12(a1+b1).计算f(x1)和f(a1),并判断:如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)·f(x1)0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1;如果f(a1)·f(x1)0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1;……继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.课前篇自主预习一二三四2.思考用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)·f(b)0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五求函数的零点例1求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1.分析:解对应的方程的根,即为函数的零点.解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.规范解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五反思感悟求函数零点的方法1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.规范解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1求f(x)=x3-4x的零点.解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2.所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.规范解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测函数法(图像法)解一元二次不等式例2解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)x2-4x+40;(3)-x2+2x-30;(4)-3x2+5x-20.分析:根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及基本方法求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测解:(1)∵Δ0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-,x2=2,∴不等式2x2-3x-20的解集为.(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,∴不等式x2-4x+40的解集为{x|x≠2}.(3)原不等式可化为x2-2x+30,由于Δ0,方程x2-2x+3=0无解,∴不等式-x2+2x-30的解集为R.(4)原不等式可化为3x2-5x+20,12由于Δ0,方程3x2-5x+2=0的两根为x1=23,x2=1,∴不等式-3x2+5x-20的解集为𝑥23𝑥1.𝑥𝑥−12或𝑥2课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟函数法解一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据函数图像写出不等式的解集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测变式训练2解下列不等式:(1)2x2+7x+30;(2)-4x2+18x-814≥0.解:(1)因为Δ=72-4×2×3=250,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-12.又二次函数y=2x2+7x+3的图像开口向上,所以原不等式的解集为𝑥𝑥-12或𝑥-3.(2)原不等式可化为2x-922≤0,所以原不等式的解集为𝑥𝑥=94.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测判断函数的零点个数例3(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac0,则函数的零点个数为()A.0B.1C.2D.不确定(2)判断下列函数的零点个数:①f(x)=x2-7x+12;②f(x)=x2-.(1)解析:二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点即方程ax2+bx+c=0的根,因为Δ=b2-4ac0(因ac0),所以函数有2个零点.答案:C1𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测(2)解:①因为由f(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=10,所以方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4.所以函数f(x)有两个零点.②方法一:由x2-1𝑥=0,得x2=1𝑥.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=1𝑥.在同一直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图像,由图可知两个图像只有一个交点,故函数f(x)=x2-1𝑥只有一个零点.方法二:令f(x)=0,即x2-1𝑥=0,因为x≠0,所以x3-1=0.所以(x-1)(x2+x+1)=0.所以x=1或x2+x+1=0.因为方程x2