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-1-3.1.3函数的奇偶性首页课标阐释思维脉络1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.2.能根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.3.能利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等.课前篇自主预习一二知识点一、奇、偶函数的定义1.思考提示:y=的定义域为{x|x≠0},经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对x∈{x|x≠0}总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数.②你还能得出函数f(x)=x5在x∈R时仍有上述(1)问中的规律吗?提示:f(x)=x5满足的规律是对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数.(2)一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任意一个x,都有-x∈D”这一说法.(1)①已知函数f(x)=1𝑥2,试求函数的定义域,并分别对x取±1,±2,±3,±12,±13,…算出函数值f(x),你能发现什么规律?1𝑥2课前篇自主预习一二2.填写下表:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,课前篇自主预习一二3.做一做(1)下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x-1B.y=3x2答案:DC.y=12𝑥D.y=-x|x|课前篇自主预习一二知识点二、奇、偶函数的图像特征1.思考(1)如果f(x)的图像关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提示:f(x)的图像关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一个点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.课前篇自主预习一二2.填空(1)偶函数的图像关于y轴对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.名师点拨奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0ab)上有相同的最大(小)值.课前篇自主预习一二3.做一做图中表示偶函数的图像的是(填序号).课前篇自主预习一二解析:①中函数的定义域不关于原点对称,所以①表示的不是偶函数的图像;②中的函数图像不关于y轴对称,所以②表示的不是偶函数的图像;③中函数的定义域关于坐标原点对称,而图像又关于y轴对称,所以③表示的是偶函数的图像;④中函数的定义域关于原点对称,且图像关于y轴对称,所以④表示的是偶函数的图像.故填③④.答案:③④课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=𝑥-1+1-𝑥;(2)f(x)=𝑥2-1+1-𝑥2;(3)f(x)=x2-2|x|+1,x∈[-1,1];(4)f(x)=(x-2)𝑥+2𝑥-2;(5)f(x)=(x-2)2+𝑥2-𝑥(|x|2).分析:先求定义域,验证定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,进而做出判断.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)∵由𝑥-1≥0,1-𝑥≥0知x=1.∴函数f(x)的定义域为{x|x=1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)∵由𝑥2-1≥0,1-𝑥2≥0,得x2=1,即x=±1.∴函数f(x)的定义域是{x|x=±1},关于原点对称.又∵f(x)=0,∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(3)函数的定义域为[-1,1],关于原点对称.∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),∴f(x)是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(4)设f(x)=(x-2)𝑥+2𝑥-2.∵由𝑥+2𝑥-2≥0,𝑥-2≠0,得x≤-2或x2,∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),不关于原点对称.∴f(x)=(x-2)𝑥+2𝑥-2既不是奇函数也不是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(5)设f(x)=(x-2)2+𝑥2-𝑥(|x|2).∵|x|2,∴-2x2,∴函数的定义域为(-2,2),关于原点对称,而f(x)=-(2-x)2+𝑥2-𝑥=-4-𝑥2,∴f(-x)=-4-(-𝑥)2=-4-𝑥2=f(x),∴f(x)=(x-2)2+𝑥2-𝑥(|x|2)是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟如何判断函数的奇偶性1.判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下:(1)求f(x)的定义域;(2)若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性:(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;(2)奇函数的和、差仍为奇函数;(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由函数的奇偶性求函数的解析式例2已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x|x-2|,求当x0时,f(x)的表达式.分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.解:令x0,则-x0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故当x0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由函数奇偶性求函数解析式的解题策略1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上的解析式,则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式,其解题理论为函数奇偶性的定义.正用定义可以判断函数的奇偶性,逆用可以求出函数在对称区间上的解析式.2.结论:(1)若f(x)是奇函数,且已知x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可.(2)若f(x)是偶函数,且已知x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)的表达式?解:只需将f(0)单独求出.因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.又因为f(x)=x|x+2|,x0,所以f(x)=x|x+2|,x≤0.延伸探究课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测奇、偶函数图像的应用例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图的草图.由图可知使f(x)0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟函数奇、偶性的应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2奇函数f(x)的定义域为[-5,5],它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.解析:奇函数f(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)0;x∈(0,2)时,f(x)0.因为其图像关于原点对称,所以x∈(-5,-2)时,f(x)0;x∈(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为{x|-2x0,或2x5}.答案:{x|-2x0,或2x5}课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用函数的单调性与奇偶性解不等式典例设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.方法点睛利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.所以不等式f(1-m)f(m)等价于1-𝑚𝑚,-2≤𝑚≤2,-2≤1-𝑚≤2,解得-1≤m12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1𝑥1.(多选)下列函数是偶函数的为()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.有下列说法:①偶函数的图像一定与y轴相交;②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.其中不正确的是()A.①②B.①④C.①②④D.①②③④解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图像.故①②③④均错误.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+5×23+2b=-18.∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.答案:-26课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当x∈(0,+∞)时,f(x)=.解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,即答案为-x-x4.方法二:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)