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-1-2.4.2抛物线的简单几何性质目标导航抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形对称轴x轴x轴y轴y轴焦点𝐹p2,0𝐹-p2,0𝐹0,p2𝐹0,-p2顶点原点(0,0)准线x=−p2x=p2y=−p2y=p2离心率e=1目标导航知识拓展1.p的几何意义是焦点到准线的距离,抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线.2.在抛物线y2=2px(p0)中,通过焦点且垂直于x轴的直线与抛物线的两个交点的坐标分别为𝑝2,𝑝,𝑝2,-𝑝,连接这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为2p.目标导航【做一做1】设A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且|AB|=1,则点A的横坐标的值为()A.-2B.0C.-2或0D.-2或2解析:由抛物线y2=4x的焦点为B(1,0),且|AB|=1,准线为x=-1,结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离知,xA=0.答案:B【做一做2】抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=−12,则𝑎=___________.解析:抛物线标准方程为x2=𝑦𝑎,准线y=−14𝑎=−12.故a=12.答案:12重难聚焦1.直线与抛物线的位置关系剖析设直线l:y=kx+b,抛物线C:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得,k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,则有k2=0直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线有一个公共点k2≠0Δ0直线与抛物线相交,有两个公共点Δ=0直线与抛物线相切,有一个公共点Δ0直线与抛物线相离,无公共点注意:直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.重难聚焦2.运用抛物线的定义解决问题剖析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离相互转化,即|PF|=|x|+𝑝2或|PF|=|y|+𝑝2,使问题简化.知识拓展1.直线与抛物线相交所得弦长的计算公式:|P1P2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=|𝑥1−𝑥2|·1+𝑘2=|𝑦1−𝑦2|·1+1𝑘2,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).2.过焦点的直线交抛物线y2=2px(p0)于A,B两点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.典例透析题型一题型二题型三题型四抛物线的定义与性质的应用【例1】已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆𝑥29+𝑦216=1短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为5,求抛物线的方程.分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.则设抛物线的方程为y2=mx(m≠0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,故所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.∴𝑝2=5,∴𝑝=10.∴𝑚4=5,∴𝑚=±20.典例透析题型一题型二题型三题型四反思顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2=mx(m≠0),当m0时,开口向右;当m0时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程可设为x2=my(m≠0),当m0时,开口向上;当m0时,开口向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线的距离为𝑚2.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(4,-8),求它的标准方程.解:由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).∵点M在抛物线上,∴(-8)2=2p×4,解得p=8.故所求抛物线的标准方程为y2=16x.典例透析题型一题型二题型三题型四与抛物线有关的定值问题【例2】已知AB是抛物线y2=2px(p0)的过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).求证:(1)|AB|=2𝑥0+𝑝2;(2)若AB的倾斜角为θ,则|AB|=2𝑝sin2𝜃;(3)x1x2=𝑝24,𝑦1𝑦2=−𝑝2;(4)1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|为定值2𝑝.典例透析题型一题型二题型三题型四分析:(1)利用中点坐标公式x1+x2=2x0,而又有|AB|=x1+x2+p,联立即可得证;(2)当AB与x轴不垂直时,可设y=𝑘𝑥-𝑝2为AB的方程,则与抛物线方程联立,即可求得x1+x2,又k=tanθ,经代入化简即可证得;(3)由(2)得x1·x2为定值,再结合y2=2px,可求得𝑦12·𝑦22为定值,则y1y2=-p2得证;(4)由抛物线的定义得|AF|=x1+𝑝2,|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2,则1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=1𝑥1+𝑝2+1𝑥2+𝑝2,化简并将x1+x2和x1x2代入即可证明.注意(2)(3)(4)还要分析AB⊥x轴时的情况.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)∵x1+x2=2x0,∴|AB|=x1+x2+p=2𝑥0+𝑝2.(2)当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB:y=𝑘𝑥-𝑝2(𝑘≠0).由𝑦=𝑘𝑥-𝑝2,𝑦2=2𝑝𝑥,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+𝑘2𝑝24=0,故x1+x2=1+2𝑘2𝑝.又k=tanθ=sin𝜃cos𝜃,代入|AB|=x1+x2+p,得|AB|=sin2𝜃+2cos2𝜃sin2𝜃·p+p=2𝑝sin2𝜃.当直线AB⊥x轴时,θ=90°,则|AB|=2p=2𝑝sin2𝜃也成立.典例透析题型一题型二题型三题型四(3)当AB与x轴不垂直时,由(2)得x1x2=𝑝24(定值),故𝑦12𝑦22=4𝑝2𝑥1𝑥2=𝑝4.∵y1y20,∴y1y2=-p2(定值).当AB⊥x轴时,x1x2=𝑝2·𝑝2=𝑝24,𝑦1·y2=p·(-p)=-p2(定值).典例透析题型一题型二题型三题型四(4)当AB与x轴不垂直时,由抛物线的定义,知|AF|=x1+𝑝2,|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2,故1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=1𝑥1+𝑝2+1𝑥2+𝑝2=𝑥2+𝑝2+𝑥1+𝑝2𝑥1+𝑝2𝑥2+𝑝2=𝑥1+𝑥2+𝑝𝑥1𝑥2+𝑝2(𝑥1+𝑥2)+𝑝24=𝑥1+𝑥2+𝑝𝑝24+𝑝2(𝑥1+𝑥2)+𝑝24=𝑥1+𝑥2+𝑝𝑝2(𝑥1+𝑥2+𝑝)=2𝑝(定值).当AB⊥x轴时,|AF|=|BF|=p,也满足1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=2𝑝(定值).典例透析题型一题型二题型三题型四反思解决与抛物线有关的定值问题,常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根与系数的关系来解决,过焦点的弦长问题常结合抛物线的定义来解决.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】抛物线y2=2px(p0)上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点,且|AF|,|MF|,|BF|成等差数列(公差不为零).(1)求证:线段AB的垂直平分线过定点Q;(2)若|MF|=4,|OQ|=6(O为坐标原点),求抛物线的方程.典例透析题型一题型二题型三题型四(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则|AF|=x1+𝑝2,|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2,|𝑀𝐹|=𝑥0+𝑝2,𝑥0为已知值.由题意,得x0=𝑥1+𝑥22,则线段AB的中点坐标可设为(x0,t),其中t=𝑦1+𝑦22≠0(否则|AF|=|MF|=|BF|).则kAB=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=𝑦1-𝑦212𝑝(𝑦12-𝑦22)=2𝑝𝑦1+𝑦2=𝑝𝑡,故线段AB的垂直平分线方程为y-t=−𝑡𝑝(𝑥−𝑥0),即t(x-x0-p)+yp=0,可知其过定点Q(x0+p,0).(2)解:由|MF|=4,|OQ|=6,得x0+𝑝2=4,𝑥0+𝑝=6,联立解得p=4,x0=2.故抛物线的方程为y2=8x.典例透析题型一题型二题型三题型四与抛物线有关的最值问题【例3】已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且𝑄𝑃·𝑄𝐹=𝐹𝑃·𝐹𝑄.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A,B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求𝑙1𝑙2+𝑙2𝑙1的最大值.解:(1)设P(x,y),则Q(x,-1).∵𝑄𝑃·𝑄𝐹=𝐹𝑃·𝐹𝑄,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),即x2=4y,∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设圆M的圆心坐标为M(a,b),则a2=4b.①圆M的半径为|MD|=𝑎2+(𝑏-2)2,圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2.令y=0,则(x-a)2+b2=a2+(b-2)2,整理得x2-2ax+4b-4=0.②由①②解得x=a±2.不妨设A(a-2,0),B(a+2,0),故l1=(𝑎-2)2+4,𝑙2=(𝑎+2)2+4.于是𝑙1𝑙2+𝑙2𝑙1=𝑙12+𝑙22𝑙1𝑙2=2𝑎2+16𝑎4+64=2(𝑎2+8)2𝑎4+64=21+16𝑎2𝑎4+64,③典例透析题型一题型二题型三题型四当a≠0时,由③得,𝑙1𝑙2+𝑙2𝑙1=21+16𝑎2+64𝑎2≤21+162×8=22.当且仅当a=±22时,等号成立.当a=0时,由③得,𝑙1𝑙2+𝑙2𝑙1=2.故当a=±22时,𝑙1𝑙2+𝑙2𝑙1的最大值为22.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.具有定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题处理.2.一般方法是由条件建立目标函数,然后利用求函数最值的方法求解最值.3.常见问题类型及处理方法.(1)题型:一是求抛物线上一点到定直线的最小距离;二是求抛物线上一点到定点的距离的最值问题.(2)方法:一是利用数形结合;二是利用两点间距离公式并结合求函数最值的方法求解.4.此类问题应注意抛物线的几何性质的应用,尤其是范围的应用.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是()A.3−1B.102−1C.2D.112−1解析:将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设P(𝑦02,𝑦0),由(x-3)2+y2=1可知圆心坐标为M(3,0),半径r=1,则|PM|=(𝑦02-3)2+𝑦02=(𝑦02)2-5𝑦02+9=𝑦02-522+114.因此|PM|的最小值为112,从而|PQ|的最小值为112−1.故选D.答案:D典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽略斜率不存在或二次项系数为零致错【例4】求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线方程.错解:设过点P(0,1)的直线方程为y=kx+1,由𝑦=𝑘𝑥+1,𝑦2=2𝑥,消去y,化简整理得k2x2+(2k-2)x+1=0,由Δ=(2k-2)2-4k2=0,得k=12.故所求直线方程为y=12𝑥+1.错因分析:错解中遗漏两点,一是漏掉直线斜率不存在的情况,二是联立方程得到关系式后未对二次项系数k2进行讨论,漏掉了k=0的情况.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:(1)若直线斜率不存在,则过点P(0,1)的