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-1-2.4抛物线-2-2.4.1抛物线及其标准方程目标导航1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.会求简单的抛物线方程.知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.归纳总结抛物线的定义可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F,为抛物线的焦点;一条定直线l,为抛物线的准线;一个定值,即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比为定值1.另外,定点F不在定直线l上,否则,动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且与直线l垂直的一条直线.【做一做1】若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则点P的轨迹是()A.抛物线B.线段C.直线D.射线解析:由抛物线的定义可知点P的轨迹为抛物线.答案:A知识梳理2.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0)p2,0x=−p2y2=-2px(p0)-p2,0x=p2x2=2py(p0)0,p2y=−p2x2=-2py(p0)0,-p2y=p2知识梳理名师点拨四种位置的抛物线标准方程的对比:(1)共同点:①抛物线顶点为原点;②焦点在坐标轴上;(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程右端取负号.③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.知识梳理【做一做2-1】抛物线y=2x2的准线方程为()A.y=−18B.𝑦=−14C.y=−12D.𝑦=−1解析:∵抛物线的标准方程为x2=12𝑦,∴准线方程为y=−18.答案:A【做一做2-2】以𝐹-34,0为焦点的抛物线的标准方程是______________.解析:∵焦点𝐹-34,0在x轴的负半轴上,∴𝑝2=34.∴2𝑝=3.∴y2=-3x.答案:y2=-3x重难聚焦二次函数与抛物线的标准方程的关系剖析二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线,但开口向左或向右的抛物线不是二次函数的图象.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,对称轴为x=−𝑏2𝑎,它是由y=ax2(a≠0)平移得到的;而y=ax2(a≠0)可化为x2=1𝑎𝑦,当a0时,其函数图象的开口向上,顶点为(0,0),焦点为0,14𝑎,对称轴为y轴;当a0时,其函数图象的开口向下,顶点为(0,0),焦点为0,14𝑎,对称轴为y轴.由此可见,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线通过平移得到.典例透析题型一题型二求抛物线的标准方程【例1】试求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上;(3)焦点到准线的距离为52.分析:对于(1),需要确定p的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0);对于(2),因为抛物线的焦点在坐标轴上,所以求出直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物线两种情况下的焦点;而对于(3),由题意知p=52,下一步需要讨论抛物线的开口方向.典例透析题型一题型二解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,∴抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0).把点(-3,2)的坐标分别代入y2=-2px(p0)和x2=2py(p0),得4=-2p·(-3)或9=2p·2,即2p=43或2p=92.故所求抛物线的标准方程为y2=−43𝑥或x2=92𝑦.(2)令x=0,得y=-2;令y=0,得x=4.故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,𝑝2=4,即2p=16,此时抛物线方程为y2=16x.当焦点为(0,-2)时,𝑝2=2,即2p=8,此时抛物线方程为x2=-8y.故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.典例透析题型一题型二(3)由焦点到准线的距离为52,可知p=52,即2p=5.故所求的抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.反思求抛物线的标准方程的方法:(1)当焦点的位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数的方程,求出参数的值,进而得出抛物线的标准方程.(2)当焦点的位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m,n的值.典例透析题型一题型二【变式训练1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)准线方程为2y+4=0;(2)过点(3,-4);(3)点(2,2)到准线的距离等于2.典例透析题型一题型二解:(1)准线方程为2y+4=0,即y=-2,则抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x2=2py(p0).由𝑝2=2,知2p=8,故抛物线方程为x2=8y.(2)由点(3,-4)在第四象限,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),即2p=163,2𝑝1=94.故所求抛物线的标准方程为y2=163𝑥或x2=−94𝑦.典例透析题型一题型二(3)因为点(2,2)到准线的距离等于2,所以准线方程只能为x=4或y=4.当准线方程为x=4时,设抛物线方程为y2=-2px(p0),𝑝2=4,2𝑝=16,则抛物线方程为y2=-16x;当准线方程为y=4时,设抛物线方程为x2=-2py(p0),𝑝2=4,2𝑝=16,则抛物线方程为x2=-16y.典例透析题型一题型二分析一:设点P的坐标为(x,y),则有(𝑥-1)2+𝑦2=|𝑥|+1,化简即得动点P的轨迹方程,此解法用了求谁设谁的思路,即直接法.分析二:结合题意动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,因此分情况讨论:当x0时,直线y=0(x0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).利用抛物线的定义求轨迹问题【例2】平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.典例透析题型一题型二解法一:设点P的坐标为(x,y),则有(𝑥-1)2+𝑦2=|𝑥|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,所以y2=4𝑥,𝑥≥0,0,𝑥0,即点P的轨迹方程为y2=4𝑥,𝑥≥0,0,𝑥0.解法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x0时,直线y=0(x0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).综上所述,点P的轨迹方程为y2=4𝑥,𝑥≥0,0,𝑥0.典例透析题型一题型二反思求解曲线的轨迹方程的方法:(1)代数法:建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理;(2)几何法:利用曲线的定义确定曲线类型并求出待定系数.典例透析题型一题型二【变式训练2】若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则P(x,y)的轨迹方程为()A.x2=16yB.x2=-16yC.x2=20yD.x2=-20y解析:依题意知点P(x,y)到点F(0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等,且点F(0,-5)不在直线y=5上,所以点P的轨迹是抛物线,且F是焦点,y=5是准线,所以点P的轨迹方程为x2=-20y.答案:D典例透析