搜索
-1-2.3.2双曲线的简单几何性质目标导航1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质.2.能解决一些简单的双曲线问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识梳理1.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2−y2b2=1(𝑎0,𝑏0)y2a2−x2b2=1(𝑎0,𝑏0)范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a顶点(±a,0)(0,±a)轴长虚轴长=2b,实轴长=2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦距|F1F2|=2c对称性对称轴为x轴,y轴,对称中心为原点(0,0)离心率e=ca(𝑒1)渐近线xa±yb=0(或y=±ba𝑥)ya±xb=0或y=±abx名师点拨1.如果双曲线确定,那么其渐近线是确定的,但双曲线的渐近线确定,其对应的双曲线则有无数条;具有共同渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0).2.因为e=𝑐𝑎=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏𝑎2,所以𝑏𝑎=𝑒2-1,因此双曲线离心率的大小决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越大,离心率越小,开口越小.知识梳理【做一做1-1】中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.𝑥225−𝑦29=1B.𝑥225−𝑦29=1或𝑦225−𝑥29=1C.𝑥2100−𝑦236=1D.𝑥2100−𝑦236=1或𝑦2100−𝑥236=1答案:B知识梳理【做一做1-2】双曲线𝑥24−𝑦29=1的渐近线方程是()A.y=±23𝑥B.𝑦=±49𝑥C.y=±32𝑥D.𝑦=±94𝑥解析:令𝑥24−𝑦29=0,得y=±32𝑥.答案:C【做一做1-3】下列双曲线中离心率为62的是()A.𝑥22−𝑦24=1B.𝑥24−𝑦22=1C.𝑥24−𝑦26=1D.𝑥24−𝑦210=1解析:A中离心率为62=3;B中离心率为62;C中离心率为102;D中离心率为142.答案:B知识梳理2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为y=±x,离心率为2,方程可表示为𝑥2−𝑦2=𝜆(𝜆≠0).【做一做2】已知双曲线𝑥2𝑛−𝑦212-𝑛=1是等轴双曲线,则𝑛=___________.解析:∵双曲线𝑥2𝑛−𝑦212-𝑛=1是等轴双曲线,∴n=12-n,∴n=6.答案:6重难聚焦有共同渐近线的双曲线系方程剖析若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1(𝑎0,𝑏0)与双曲线𝑥2𝑎'2−𝑦2𝑏'2=±1(𝑎′0,𝑏′0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程𝑥𝑎±𝑦𝑏=0与𝑥𝑎'±𝑦𝑏'=0分别重合,则必有𝑎𝑎'=𝑏𝑏'=1𝑘(𝑘0),故a'=ka,b'=kb.反之,易求得双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1与𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1有相同的渐近线y=±𝑏𝑎𝑥,故与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1有相同渐近线的双曲线系方程为𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1.上述方程可简化为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0)求双曲线方程较为方便.典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程【例1】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.(1)若双曲线过点P(6,2),求双曲线的标准方程;(2)若双曲线的焦距是213,求双曲线的标准方程.典例透析题型一题型二题型三题型四解法一:双曲线的渐近线方程为y=±23𝑥.(1)设双曲线的方程为𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(𝑚𝑛0).∵双曲线过点P(6,2),且点P在直线y=23𝑥的左上方,∴m0,n0,∴焦点在y轴上.又渐近线的斜率k=±23,∴6𝑚-4𝑛=1,-𝑛-𝑚=23,解得𝑚=-3,𝑛=-43.故所求双曲线的标准方程为𝑦243−𝑥23=1.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1或𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0).∵c2=a2+b2,∴a2+b2=13.∵渐近线的斜率为𝑏𝑎=23或𝑎𝑏=23,∴𝑏𝑎=23,𝑎2+𝑏2=13或𝑎𝑏=23,𝑎2+𝑏2=13.∴𝑎2=9,𝑏2=4或𝑎2=4,𝑏2=9.故所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦24−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:双曲线的渐近线方程为y=±23𝑥,即𝑥3±𝑦2=0.设双曲线的方程为𝑥29−𝑦24=𝜆(𝜆≠0).(1)∵双曲线过点P(6,2),∴69−44=𝜆.∴𝜆=−13.故所求双曲线的标准方程为𝑦243−𝑥23=1.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)若λ0,则a2=9λ,b2=4λ,c2=a2+b2=13λ,由题设,知2c=213,则λ=1.故所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1.若λ0,则a2=-4λ,b2=-9λ,c2=a2+b2=-13λ,由题设,知2c=213,则λ=-1.故所求双曲线的标准方程为𝑦24−𝑥29=1.综上可知所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦24−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的对应.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:(1)双曲线过点(3,92),离心率𝑒=103;(2)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x.典例透析解:(1)由e=103,得𝑐2𝑎2=109.设a2=9k(k0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为𝑥29𝑘−𝑦2𝑘=1,①或𝑦29𝑘−𝑥2𝑘=1,②把(3,92)代入①,得k=-161与k0矛盾,无解;把(3,92)代入②,得k=9,故所求双曲线方程为𝑦281−𝑥29=1.(2)由渐近线方程3x±y=0,可设所求双曲线方程为𝑥219−𝑦2=𝜆(𝜆≠0),(*)将点P(2,-1)的坐标代入(*),得λ=35,故所求双曲线方程为𝑥2359−𝑦235=1.题型一题型二题型三题型四典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的渐近线方程【例2】如图,已知F1,F2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的焦点,过𝐹2作垂直于𝑥轴的直线交双曲线于点𝑃,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,可求得a,b间的关系,就可求得渐近线的斜率.典例透析题型一题型二题型三题型四解法一:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=±𝑏2𝑎.则|PF2|=𝑏2𝑎.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|F1F2|=3|𝑃𝐹2|,即2c=3·𝑏2𝑎,将c2=a2+b2代入,解得b2=2a2,则𝑏𝑎=2.故双曲线的渐近线方程为y=±2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=±𝑏2𝑎.故|PF2|=𝑏2𝑎.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|PF1|=2|PF2|.①由双曲线的定义,可知|PF1|-|PF2|=2a,②由①②,得|PF2|=2a,∵|PF2|=𝑏2𝑎,∴2𝑎=𝑏2𝑎,即b2=2a2.∴𝑏𝑎=2.∴双曲线的渐近线方程为y=±2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求双曲线的渐近线方程,实质就是求渐近线的斜率,即求𝑏𝑎的值,因此求双曲线渐近线方程的关键是通过题目条件求出a,b的值或寻求a与b的关系,从而求出𝑏𝑎的值,即得双曲线渐近线方程.但要注意分析双曲线的焦点所在的位置,若双曲线的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±𝑏𝑎𝑥,若焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±𝑎𝑏𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2𝑥B.𝑦=±2𝑥C.y=±22𝑥D.𝑦=±12𝑥解析:由题意知2b=2,2c=23,则b=1,c=3.因为a2+b2=c2,所以a=2.所以双曲线的渐近线方程为y=±22𝑥.答案:C典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的离心率【例3】求适合下列条件的双曲线的离心率:解:(1)若焦点在x轴上,则𝑏𝑎=32,故e=𝑏2𝑎2+1=132.若焦点在y轴上,则𝑎𝑏=32,即𝑏𝑎=23,故e=𝑏2𝑎2+1=133.综上所述,双曲线的离心率为132或133.(1)双曲线的渐近线方程为y=±32𝑥;(2)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1𝑎0,𝑏0,过双曲线𝐶的右焦点𝐹作𝐶的渐近线的垂线,垂足为𝑀,延长𝐹𝑀与𝑦轴交于点𝑃,且|𝐹𝑀|=4|𝑃𝑀|,求双曲线𝐶的离心率.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由已知得|FM|=b,所以|PM|=𝑏4,|𝑂𝑀|=𝑎,由勾股定理可得𝑏42+𝑎2+𝑐2=5𝑏42,又因为c2=a2+b2,整理得c2=5a2,所以离心率e=𝑐𝑎=5.反思求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到a,b,c的关系式,再根据c2=a2+b2,直接求a,c的值.而在解题时常把𝑐𝑎或𝑏𝑎视为整体,把关系式转化为关于𝑐𝑎或𝑏𝑎的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知点P为双曲线C1:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为()A.3B.1+2C.3+1D.2典例透析题型一题型二题型三题型四解析:如图所示,∠F1PF2=90°,又2∠PF1F2=∠PF2F1,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.在△F1PF2中,|F1F2|=2c,|PF1||PF2|,答案:C∴|PF1|=3c,|PF2|=c.由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,即3c-c=2a,∴e=𝑐𝑎=23-1=3+1,故选C.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽视斜率的多种情况而致错【例4】求经过点12,2且与双曲线4𝑥2−𝑦2=1仅有一个公共点的直线方程.错解:设所求直线方程为y-2=𝑘𝑥-12,由𝑦-2=𝑘𝑥-12,4𝑥2-𝑦2=1,得(4-k2)x2-2𝑘2-12𝑘𝑥−14𝑘2-2𝑘+5=0.由题意,得Δ=0,即-2𝑘2-12𝑘2−44−𝑘2·-14𝑘2-2𝑘+5=0,解得k=52.故所求直线方程为y=52𝑥+34.典例透析题型一题型二题型三题型四错因分析:错解中既忽视了直线斜率不存在的情况,也忽视了联立后所得方程为一次方程(即k=±2)的情况.正解:若直线的斜率存在,设为k,则所求直线方程为y-2=𝑘𝑥-12.由𝑦-2=𝑘𝑥-12,4𝑥2-𝑦2=1,①②将①代入②整理,得(4-k2)x2-2𝑘2-12𝑘𝑥−14𝑘2-2𝑘+