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对数运算及对数函数习题课1.能利用对数的概念和运算性质化简求值.2.能借助对数函数的性质研究复杂函数的性质.1.对数式与指数式的互化关系:当a0,且a≠1时,ab=N⇔b=logaN.【做一做1】若log12𝑎=−5,则𝑎=_________________.解析:∵log12𝑎=−5,∴a=12-5=25=32.答案:322.对数的运算性质:如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)log𝑎𝑀𝑁=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).【做一做2】计算:4lg2+3lg5-lg15=_________________.解析:原式=lg24+lg53-lg15=lg24+lg54=lg104=4.答案:43.对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象与性质a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R当x=1时,y=0,即图象恒过定点(1,0)当x1时,y0;当0x1时,y0当x1时,y0;当0x1时,y0在区间(0,+∞)内是增函数在区间(0,+∞)内是减函数【做一做3】已知函数f(x)=logax(a0,且a≠1)的图象过点(2,-1),则当x∈12,4时,𝑓(𝑥)的值域为___________________.解析:由已知,得loga2=-1,∴a-1=2,∴a=12,∴f(x)=log12𝑥.∴当x∈12,4时,f(x)=log12𝑥为减函数,∴f(4)≤f(x)≤𝑓12,∴log124≤f(x)≤log1212,即-2≤f(x)≤1,∴f(x)在x∈12,4上的值域为[-2,1].答案:[-2,1]1.利用对数函数的单调性比较大小剖析:(1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单调性进行判断;(2)若底数为同一字母,则可根据对数函数的单调性对底数进行分类讨论;(3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数的图象或换底公式化为同底数,再作比较;(4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值-1,0,1等与其作比较.2.与对数函数有关的函数值域的求法剖析:充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.对于形如y=logaf(x)(a0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:(1)分解成y=logau,u=f(x)这两个函数;(2)求f(x)的定义域;(3)求u的取值范围;(4)利用y=logau的单调性求解.注意事项:(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.(2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.题型一题型二题型三题型四对数的运算【例1】计算:2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8=____________________.解析:原式=lg4+lg31+lg0.6+lg2=lg12lg(10×0.6×2)=lg12lg12=1.答案:1反思解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常用方法有:(1)将真数化为“底数”的幂的积,再展开;(2)将同底数的对数的和、差、倍合并;(3)不同底的对数式用换底公式化为同底.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】计算:(log43+log83)(log32+log92)-log12324.解:原式=12𝑙𝑜𝑔23+13𝑙𝑜𝑔23·𝑙𝑜𝑔32+12𝑙𝑜𝑔32+log2254=56log23×32log32+54=56×32×log23×log32+54=54+54=52.题型一题型二题型三题型四对数函数图象的变换【例2】画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间:(1)y=log3(x-2);(2)y=|log12𝑥|.题型一题型二题型三题型四解:(1)函数y=log3(x-2)的图象如图①所示,其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)内是增函数.(2)y=|log12𝑥|=log12𝑥,0𝑥≤1,log2𝑥,𝑥1,其图象如图②所示,其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在区间(0,1]上是减函数,在区间(1,+∞)内是增函数.图①图②题型一题型二题型三题型四反思1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为正实数)的图象可由函数y=f(x)的图象变换得到.将y=f(x)的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y=f(x±a)的图象,再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y=f(x±a)±b的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于x=a对称的轴对称图形,也可以由y=f(x)的图象平移对称得到y=f(|x-a|)的图象;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在x轴上方相同,在x轴下方关于x轴对称.3.y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lgx的图象(如图①).图①图②再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).题型一题型二题型三题型四最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).题型一题型二题型三题型四对数型函数单调性的讨论【例3】已知f(x)=loga(a-ax)(a1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断并证明f(x)的单调性.解:(1)由a1,a-ax0,即aax,得x1.故f(x)的定义域为(-∞,1).由0a-axa,可知loga(a-ax)logaa=1.故函数f(x)的值域为(-∞,1).(2)f(x)在区间(-∞,1)内为减函数.证明如下:任取1x1x2,即f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-∞,1)内为减函数.∵a1,∴𝑎𝑥1𝑎𝑥2,∴𝑎−𝑎𝑥1𝑎−𝑎𝑥2,∴loga(a−𝑎𝑥1)log𝑎(𝑎−𝑎𝑥2),题型一题型二题型三题型四反思1.对数型函数的单调性可用单调性定义判断.2.关于形如y=logaf(x)一类函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)0)的单调性,当a1时相同,当0a1时相反.研究此类型的函数单调性,要考虑函数的定义域,即“定义域优先”.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求函数y=log2(3-2x)的单调区间.解:由3-2x0,解得函数y=log2(3-2x)的定义域是-∞,32.设u=3-2x,x∈-∞,32,∵𝑢=3−2𝑥在-∞,32内是减函数,且y=log2u在区间(0,+∞)内单调递增,∴函数y=log2(3-2x)在区间-∞,32内是减函数.∴函数y=log2(3-2x)的单调递减区间是-∞,32.题型一题型二题型三题型四对数型函数的奇偶性问题【例4】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.题型一题型二题型三题型四解:(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则𝑥+10,1-𝑥0,解得-1x1,故所求定义域为(-1,1).(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以由f(x)0,得loga(x+1)-loga(1-x)0,即loga(x+1)loga(1-x),即x+11-x,解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是(0,1).题型一题型二题型三题型四反思对数函数本身不具有奇偶性,但有些函数与对数函数复合后,就具有奇偶性,如y=log2|x|就是偶函数.判断这类函数的奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或利用定义的等价形式进行判断:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)±f(x)=0⇔𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)=±1(𝑓(𝑥)≠0),其中f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0多用于对数型函数奇偶性的判断,𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)=±1多用于指数型函数奇偶性的判断.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】若函数f(x)=log21+𝑥𝑎-𝑥的图象关于原点对称,则实数𝑎的值为_______________.解析:由图象关于原点对称可知函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即log21-𝑥𝑎+𝑥+log21+𝑥𝑎-𝑥=0,所以log21-𝑥2𝑎2-𝑥2=0,即1-𝑥2𝑎2-𝑥2=1,即a2=1,又1+𝑥𝑎-𝑥0,所以a=1.经检验,a=1符合题意.答案:1