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2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象和性质1.掌握对数函数的概念,会判断对数函数.2.初步掌握对数函数的图象和性质.3.能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点问题.1.对数函数的定义一般地,我们把函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).归纳总结1.由于指数函数y=ax中的底数a满足a0,且a≠1,则对数函数y=logax中的底数a也必须满足a0,且a≠1.2.对数函数的解析式同时满足:(1)对数符号前面的系数是1;(2)对数的底数是不等于1的正实数(常数);(3)对数的真数仅有自变量x.【做一做1】下列函数是对数函数的是()A.y=lnxB.y=ln(x+1)C.y=logxeD.y=logxx答案:A2.对数函数的图象和性质一般地,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象和性质如下表所示:a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数非奇非偶函数归纳总结对数函数的知识总结:对数增减有思路,函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来可不行;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(1,0)点.【做一做2-1】函数f(x)=log2(x-7)的定义域是()A.[7,+∞)B.(7,+∞)C.(-∞,7)D.(-∞,7]解析:由x-70,得x7,即f(x)的定义域为(7,+∞).答案:B【做一做2-2】已知函数f(x)=logax的图象如图所示,则a的取值可能是()A.10B.12C.13D.14答案:A3.反函数对数函数y=logax(a0,且a≠1)和指数函数y=ax(a0,且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.【做一做3】函数y=lnx的反函数是.答案:y=ex对数函数和指数函数的区别与联系剖析:将对数函数和指数函数的性质对比列表如下:名称指数函数对数函数解析式y=ax(a0,且a≠1)y=logax(a0,且a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)单调性当a1时为增函数,当0a1时为减函数名称指数函数对数函数当a1时:若x0,则y1;若x=0,则y=1;若x0,则0y1当a1时:若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0当0a1时:若x0,则0y1;若x=0,则y=1;若x0,则y1当0a1时:若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0图象y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称题型一题型二题型三题型四对数函数的概念【例1】下列函数中,哪些是对数函数?(1)y=logax2(a0,且a≠1);(2)y=log2x-1;(3)y=2log8x;(4)y=logxa(x0,且x≠1);(5)y=log5x.分析:根据对数函数的定义进行判断.题型一题型二题型三题型四解:只有(5)为对数函数.(1)中真数不是自变量x,故不是对数函数;(2)中是对数式减1,故不是对数函数;(3)中log8x前的系数是2,而不是1,故不是对数函数;(4)中底数是自变量x,而非常数a,故不是对数函数.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=.解得a=1.答案:1解析:由已知可得𝑎2-𝑎+1=1,𝑎+10,𝑎+1≠1,题型一题型二题型三题型四求定义域【例2】求函数y=log4(4-𝑥)𝑥-3的定义域.解:要使函数有意义,需满足4-𝑥0,𝑥-3≠0,解得x4,且x≠3,故函数的定义域为(-∞,3)∪(3,4).反思求与对数函数有关的函数的定义域时,除了已学习过的求函数定义域的方法外,还要注意对数的真数大于零.特别地,函数y=logaf(x)的定义域是使f(x)0的x的取值范围.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】函数f(x)=𝑥-4lg𝑥-1的定义域是()A.[4,+∞)B.(10,+∞)C.(4,10)∪(10,+∞)D.[4,10)∪(10,+∞)解析:当f(x)有意义时,可得𝑥-4≥0,𝑥0,lg𝑥-1≠0,解得𝑥≥4,𝑥0,𝑥≠10,故函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞).答案:D题型一题型二题型三题型四对数函数的图象问题【例3】(1)已知函数f(x)=loga(x+1)+1(a0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.(2)对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d,1,0的大小关系为.题型一题型二题型三题型四解析:(1)令x+1=1,得x=0,则f(0)=loga1+1=1,即定点P的坐标为(0,1).(2)由题图可知函数y=logax,y=logbx的底数a1,b1,函数y=logcx,y=logdx的底数0c1,0d1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略),则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然ba1dc0.答案:(1)(0,1)(2)ba1dc0题型一题型二题型三题型四反思1.对数函数的图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过点(3,5),则lgm+lgn等于()A.10B.lg12C.1D.110(2)已知ab=1,函数f(x)=ax(a0,且a≠1)与函数g(x)=-logbx(b0,且b≠1)的图象可能是()题型一题型二题型三题型四解析:(1)由已知可得3-𝑚=1,𝑛=5,∴𝑚=2,𝑛=5,∴lgm+lgn=lg2+lg5=lg10=1.(2)∵ab=1,∴g(x)=-log1𝑎𝑥=log𝑎𝑥,若0a1,则函数f(x)=ax的图象下降且过点(0,1),函数g(x)=logax的图象下降且过点(1,0),选项中的图象均不符合.若a1,则函数f(x)=ax的图象上升且过点(0,1),函数g(x)=logax的图象上升且过点(1,0),只有选项B中图象符合.答案:(1)C(2)B题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽略对数函数的定义域致错【例4】已知函数y=f(x),x,y满足关系式lg(lgy)=lg(3-x),求函数y=f(x)的解析式及定义域、值域.错解∵lg(lgy)=lg(3-x),∴lgy=3-x,∴y=103-x,定义域为R,值域为(0,+∞).错因分析:错解没有注意到对数函数的定义域,即已知关系式成立的前提为lg𝑦0,3-𝑥0.题型一题型二题型三题型四正解:∵lg(lgy)=lg(3-x),∴lgy=3-x,且lg𝑦0,3-𝑥0,∴𝑦=103−𝑥,𝑥3,∴y103-3=1,∴y=f(x)的定义域为(-∞,3),值域是(1,+∞).反思解决含有对数的问题时,一定要使对数式有意义,即要使对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知函数f(x)=loga(x+3)+log𝑎𝑥−3的图象过定点𝑃,则点𝑃的坐标为______________________.解析:f(x)=loga(x+3)+log𝑎(𝑥−3)=log𝑎(𝑥2−3)(𝑥3).令x2-3=1,结合x3,得x=2.当x=2时,f(2)=0.故定点P的坐标为(2,0).答案:(2,0)