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第2课时对数的运算1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.了解对数的换底公式及其应用.3.初步掌握对数在生活中的应用.1.对数的运算性质条件a0,且a≠1,M0,N0性质loga(M·N)=logaM+logaNlog𝑎MN=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁logaMn=nlogaM(n∈R)名师点拨一般情况下,当a0,且a≠1,M0,N0时,loga(M·N)≠(logaM)(logaN),loga(M+N)≠logaM+logaN,log𝑎𝑀𝑁≠log𝑎𝑀log𝑎𝑁.【做一做1-1】lg2+lg5的值为()A.2B.5C.7D.1解析:原式=lg(2×5)=lg10=1.答案:D【做一做1-2】log318-log32的值为()A.log316B.log320C.log336D.2解析:原式=log3182=log39=2.答案:D2.换底公式logab=log𝑐𝑏log𝑐𝑎(𝑎0,且𝑎≠1;c0,且c≠1;b0).知识拓展1.可用换底公式证明以下结论:(1)logab=1log𝑏𝑎;(2)log𝑎𝑏·logbc·logca=1;(3)log𝑎𝑛𝑏𝑛=log𝑎𝑏;(4)log𝑎𝑛𝑏𝑚=𝑚𝑛log𝑎𝑏;(5)log1𝑎𝑏=−log𝑎𝑏.2.对换底公式的理解:换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.【做一做2】log29·log278=.解析:原式=lg9lg2×lg8lg27=2lg3×3lg2lg2×3lg3=2.答案:2对数的运算性质剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据,要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.(2)使用对数运算性质的前提条件是M0,N0,a0,且a≠1,没有上述条件,公式就不一定成立.如log2[(-2)×(-7)]是存在的,但log2(-2)与log2(-7)不存在,故log2[(-2)×(-7)]≠log2(-2)+log2(-7).(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中M0,N0,a0,且a≠1).式子ab=NlogaN=b名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂a——对数的底数b——以a为底N的对数N——真数运算性质aman=am+naman=𝑎𝑚−𝑛(am)n=amnloga(M·N)=logaM+logaNlog𝑎MN=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁logaMn=nlogaM题型一题型二题型三题型四化简、求值【例1】计算下列各式的值:(1)log2748+log212−12log242;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2.分析:利用对数的运算性质进行计算.解:(1)方法一:原式=log27×1248×42=log212=−12.方法二:原式=12log2748+log2(22×3)−12log2(2×3×7)=12log27−12log2(24×3)+2+log23−12−12log23−12log27=−12×4−12log23+32+12log23=−2+32=−12.题型一题型二题型三题型四(2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.反思对于同底的对数的化简,常用方法是:(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差);(3)“收”和“拆”相结合,如本例(2).题型一题型二题型三题型四【变式训练1】计算下列各式的值:(1)12lg3249−43lg8+lg245;(2)2log32-log3329+log38−5log53.解:(1)(方法一)原式=12(5lg2-2lg7)−43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.(方法二)原式=lg427−lg4+lg75=lg42×757×4=lg(2×5)=lg10=12.(2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2log33)-3=-1.题型一题型二题型三题型四换底公式的应用【例2】(1)计算(log23+log43)(log32+log274)的值.(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:(1)用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.(2)先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=log23+12log23×log32+23log32=32log23×53log32=52log23×log32=52log23×1log23=52.(2)∵18b=5,∴b=log185.∴log3645=log1845log1836=log18(5×9)log18(2×18)=log185+log189log182+log1818=𝑎+𝑏1+log182=𝑎+𝑏1+log18189=𝑎+𝑏2-log189=𝑎+𝑏2-𝑎.题型一题型二题型三题型四反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)计算下列各式的值:①log89·log2732;②(log43+log83)·log32.(2)已知log32=a,log37=b,试用a,b表示log28498.解:(1)①原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.②原式=lg3lg4+lg3lg8·lg2lg3=lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.(2)∵log32=a,log37=b,∴log28498=log3498log328=log349-log38log34+log37=2log37-3log322log32+log37=2𝑏-3𝑎2𝑎+𝑏.题型一题型二题型三题型四对数的综合应用【例3】(1)设3a=4b=36,求2𝑎+1𝑏的值;(2)已知2x=3y=5z,且1𝑥+1𝑦+1𝑧=1,求𝑥,𝑦,𝑧.分析:用对数式表示出a,b,x,y,z后代入所求(已知)式子进行求解.解:(1)法一由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得1𝑎=log363,1𝑏=log364,∴2𝑎+1𝑏=2log363+log364=log3636=1.法二由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,∴2𝑎=log63,1𝑏=12log64=log62,∴2𝑎+1𝑏=log63+log62=log66=1.题型一题型二题型三题型四(2)令2x=3y=5z=k(k0),∴x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴1𝑥=log𝑘2,1𝑦=log𝑘3,1𝑧=log𝑘5.由1𝑥+1𝑦+1𝑧=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.反思利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知8a=10b=25c≠1,求证:2𝑎+3𝑐=6𝑏.证明:设8a=10b=25c=t(t0,且t≠1),则1𝑎=log𝑡8,1𝑏=log𝑡10,1𝑐=log𝑡25,所以2𝑎+3𝑐=2log𝑡8+3log𝑡25=6(logt2+logt5)=6logt10=6𝑏.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽略真数大于0致错【例4】已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求𝑥𝑦的值.错解因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0.所以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,所以𝑥𝑦=1或𝑥𝑦=4.错因分析:错解中,lgx+lgy=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y的取值范围的要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要代入原方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.题型一题型二题型三题型四正解:同错解,得到𝑥𝑦=1或𝑥𝑦=4.由题意知,x0,y0,所以当𝑥𝑦=1时,x-2y0,则lg(x-2y)无意义,所以𝑥𝑦=1不合题意,应舍去;当𝑥𝑦=4时,将x=4y代入已知条件,符合题意.所以𝑥𝑦=4.反思根据指数式与对数式的互化可知,真数实际上是指数式中的指数幂,故为正数.所以当求解含有对数式的问题时,一定要注意真数的取值范围,保证真数大于零.求解过程不等价时,在求出答案后需进行检验.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知方程lg(x+1)+lgx=lg6,则x等于()A.-3B.2C.-3或2D.3或-2解析:∵lg(x+1)+lgx=lg6,∴lg[(𝑥+1)𝑥]=lg6,𝑥+10,𝑥0,∴𝑥(𝑥+1)=6,𝑥+10,𝑥0,解得x=2.答案:B