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第2课时指数函数性质的应用1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值.2.掌握指数函数在实际生活中的简单应用,体会指数函数是一类重要的函数模型.指数函数的图象和性质y=ax(0a1)y=ax(a1)图象性质定义域:R值域:(0,+∞)过定点(0,1),即当x=0时,y=1当x0时,0y1;当x0时,y1当x0时,y1;当x0时,0y1在R上是减函数在R上是增函数【做一做1】已知a=31.03,b=31.04,则()A.abB.a=bC.abD.a≥b答案:C【做一做2】已知指数函数f(x)=ax,且f(3)f(2),则a的取值范围是.解析:∵函数f(x)=ax是指数函数,且f(3)f(2),∴f(x)在R上是减函数.∴0a1.答案:(0,1)底数对指数函数的影响剖析:(1)对指数函数变化趋势的影响.①当底数a1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快,如图甲所示.②当底数0a1时,指数函数y=ax是R上的减函数,且当x0时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减小得越快,如图乙所示.(2)对函数值大小的影响.①若ab1,当x0时,总有0axbx1;当x=0时,总有ax=bx=1;当x0时,总有axbx1.②若0ba1,当x0时,总有bxax1;当x=0时,总有ax=bx=1;当x0时,总有0bxax1.综上可得,当x0,ab0时,axbx;当x0,ab0时,axbx.题型一题型二题型三题型四比较大小【例1】比较下列各题中两个值的大小:(1)0.6-1.2,0.6-1.5;(2)2.3-0.28,0.67-3.1.分析:(1)构造指数函数,利用其单调性比较大小;(2)利用中间值1比较大小.解:(1)(单调性法)由于0.6-1.2与0.6-1.5的底数都是0.6,故构造函数y=0.6x,而函数y=0.6x在R上是减函数,又-1.2-1.5,所以0.6-1.20.6-1.5.(2)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.282.30=1,0.67-3.10.670=1,所以2.3-0.280.67-3.1.题型一题型二题型三题型四反思比较指数值大小的方法:(1)单调性法:比较同底数幂的大小,可构造指数函数,利用指数函数的单调性比较大小.要注意:明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;明确指数函数的底数与1的大小关系.如本例(1).(2)中间量法:比较不同底数且不同指数幂的大小,常借助中间值1进行比较.如本例(2).题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列大小关系正确的是()A.0.4330.4π0B.0.43π030.4C.30.40.43π0D.π030.40.43解析:由于30.430=1,0.430.40=1,π0=1,故0.43π030.4.答案:B题型一题型二题型三题型四解简单的指数不等式【例2】已知a2x+1≤ax-5(a0,且a≠1),求x的取值范围.分析:讨论a的取值→得关于x的不等式→解不等式得x的取值范围.解:当0a1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6;当a1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0a1时,x的取值范围是[-6,+∞);当a1时,x的取值范围是(-∞,-6].题型一题型二题型三题型四反思解关于x的不等式af(x)ag(x)(a0,且a≠1)时,主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为:题型一题型二题型三题型四【变式训练2】若2a+1123-2𝑎,则实数𝑎的取值范围是()A.(4,+∞)B.12,+∞C.(-∞,4)D.-∞,12解析:因为2a+1123-2𝑎,所以2a+122a-3.又y=2x在R上为增函数,故a+12a-3,解得a4,故a的取值范围为(4,+∞).答案:A题型一题型二题型三题型四最值问题【例3】已知函数f(x)=ax(a0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大𝑎2,求𝑎的值.分析:可结合指数函数f(x)的单调性,对a分类讨论求值.解:当a1时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,故a2-a=𝑎2,解得a=32或a=0(舍去);当0a1时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,故a-a2=𝑎2,解得a=12或a=0(舍去).综上所述,a的值为12或32.题型一题型二题型三题型四反思指数函数y=ax(a1)在R上是增函数,则在闭区间[s,t]上,当x=s时,函数取得最小值as;当x=t时,函数取得最大值at.指数函数y=ax(0a1)在R上是减函数,则在闭区间[s,t]上,当x=s时,函数取得最大值as;当x=t时,函数取得最小值at.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】函数y=2𝑥2-2𝑥在区间0,3上的最大值与最小值分别是()A.最大值是8,最小值是1B.最大值是3,最小值是2C.最大值是2,最小值是12D.最大值是8,最小值是12解析:设t=x2-2x,x∈[0,3],则t的最大值为3,最小值为-1.又y=2t在R上为增函数,故函数y=2𝑥2-2𝑥在区间[0,3]的最大值为23=8,最小值为2-1=12.答案:D题型一题型二题型三题型四应用问题【例4】某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x(x∈N*),本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数解析式;(2)已知存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.题型一题型二题型三题型四解:(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y=a(1+r)3,……x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*,即本利和y随存期x变化的函数解析式为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式,得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元),即5期后的本利和约为1117.68元.反思解指数函数的应用问题时,通常利用归纳法得出函数解析式.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】某乡镇现在人均一年占有粮食360kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x(x∈N*)年后人均一年占有ykg粮食,求y关于x的函数解析式.题型一题型二题型三题型四解:设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360Mkg.1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)kg,人口数量为M(1+1.2%),则人均一年占有粮食为360𝑀(1+4%)𝑀(1+1.2%)kg,2年后,人均一年占有粮食为360𝑀(1+4%)2𝑀(1+1.2%)2kg,……x年后,人均一年占有粮食为y=360𝑀(1+4%)𝑥𝑀(1+1.2%)𝑥kg,即所求函数解析式为y=3601.041.012𝑥(𝑥∈N*).