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2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象和性质1.理解指数函数的概念和意义,能画出指数函数图象的草图,会判断指数函数.2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.1.指数函数的定义一般地,函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.名师点拨指数函数y=ax(a0,且a≠1)的结构特征:(1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x.(2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1.(3)系数:ax的系数是1.【做一做1】已知函数y=a·2x与y=2x+b都是指数函数,则a+b的值为()A.2B.1C.0D.不确定解析:由指数函数的概念知a=1,b=0,故a+b=1.答案:B2.指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示:a10a1图象性质定义域R值域(0,+∞)过定点过定点(0,1),即当x=0时,y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数归纳总结指数函数的性质可用如下口诀来记忆:指数增减要看清,抓住底数不放松;反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(0,1)点.【做一做2-1】y=34𝑥的图象可能是()答案:CA.RB.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案:D【做一做2-3】若指数函数y=(a-2)x在R上是增函数,则实数a的取值范围是.解析:由题意得a-21,故a3.答案:(3,+∞)【做一做2-2】y=(3)𝑥的值域是()1.对指数函数中底数取值范围的理解剖析:(1)若a0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,(2)若a=0,则当x0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax是一个常量1,没有研究的必要性.为了避免上述各种情况,所以规定a0,且a≠1,这样对于任何x∈R,ax都有意义.当x=12时无意义.2.在指数函数y=ax(a0,且a≠1)中,底数a对函数图象的影响剖析:设y=f(x)=ax,则f(1)=a,即直线x=1与指数函数f(x)=ax图象交点的纵坐标是底数a.如图①所示.指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图②所示,则有ab1cd0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即底数大的在下边.图①图②知识拓展当a0,且a≠1时,指数函数y=ax与y=1𝑎𝑥(或y=a-x)的图象关于y轴对称.题型一题型二题型三题型四指数函数的概念【例1】下列函数中,哪些是指数函数?(1)y=(-8)x;(2)y=2𝑥2-1;(3)y=(2a-1)𝑥𝑎12,且𝑎≠1;(4)y=2·3x.分析:依据指数函数解析式满足的三个特征来判断.解:(1)中,底数-80,故不是指数函数.(2)中,指数不是自变量x,故不是指数函数.(3)中,∵a12,且a≠1,∴2a-10,且2a-1≠1.∴y=(2a-1)x是指数函数.(4)中,3x的系数是2,而不是1,故不是指数函数.综上所述,仅有(3)是指数函数.题型一题型二题型三题型四反思判断一个函数是不是指数函数,只需判定其解析式是否符合y=ax(a0,且a≠1)这一结构,其具备的特点如下:这三个特点缺一不可.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列函数:①y=x2;②y=3·4x;③y=π2𝑥;④𝑦=12𝑥;⑤𝑦=2𝑥+1.其中,指数函数的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由指数函数的概念知,①②⑤不是指数函数;③是指数函数;④中函数可化为y=12𝑥,所以④是指数函数.答案:B题型一题型二题型三题型四求指数型函数的定义域、值域【例2】求下列函数的定义域与值域.(1)y=21𝑥-4;(2)𝑦=23-|𝑥|.分析:因为指数函数y=ax(a0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域.题型一题型二题型三题型四∴y=21𝑥-4的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵1𝑥-4≠0,∴21𝑥-4≠1.∴y=21𝑥-4的值域为{y|y0,且y≠1}.(2)定义域为R.∵|x|≥0,∴y=23-|𝑥|=32|𝑥|≥320=1.故y=23-|𝑥|的值域为{y|y≥1}.解:(1)∵由x-4≠0,得x≠4,题型一题型二题型三题型四反思对于y=af(x)(a0,且a≠1)这类函数:(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.(2)值域问题应分以下两步求解:①由定义域求出u=f(x)的值域;②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知函数f(x)=𝑎𝑥+1(𝑎0,且𝑎≠1)的图象过点(0,3),则当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为()A.19,13B.1,9C.3,9D.[1,2]解析:∵函数f(x)=𝑎𝑥+1的图象过点(0,3),∴f(0)=𝑎0+1=𝑎=3.∴𝑓(𝑥)=3𝑥+1.当x∈[0,3]时,得1≤𝑥+1≤2,故f(x)的值域为[3,9].答案:C题型一题型二题型三题型四指数函数图象的应用【例3】(1)若函数f(x)=ax-1+3(a0,且a≠1)的图象恒过定点P,求点P的坐标.(2)已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=13𝑥+1+2的图象?并画出相应图象.分析:(1)利用指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象过定点(0,1)来确定.(2)利用图象的变换,由y=3x的图象变换到y=13𝑥的图象,再变换到y=13𝑥+1+2的图象.题型一题型二题型三题型四解:(1)令x-1=0,解得x=1,此时f(1)=a0+3=4,即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4).(2)y=13𝑥+1+2=3−(𝑥+1)+2.作函数y=3x的图象关于y轴的对称图象得函数y=3-x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=13𝑥+1+2的图象,如图所示.题型一题型二题型三题型四反思1.已知函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象恒过定点(m,k+b).2.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)当a0,且a≠1时,函数f(x)=ax+1-1的图象一定过点()A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)(2)指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系为()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc题型一题型二题型三题型四解析:(1)令x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=a0-1=0,即图象过定点(-1,0).(2)由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数,则1dc,ba1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为ba1dc.答案:(1)C(2)B题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点利用换元法时,忽视中间变量的取值范围【例4】求函数y=14𝑥+12𝑥+1的值域.错解令t=12𝑥,则原函数可化为y=t2+t+1=𝑡+122+34≥34,即当t=−12时,ymin=34,故原函数的值域是34,+∞.错因分析:原函数的自变量x的取值范围是R,换元后t=12𝑥0,而不是t∈R,错解中,t的取值范围扩大了.正解:令t=12𝑥,𝑡∈(0,+∞),则原函数可化为y=t2+t+1=𝑡+122+34.因为函数y=𝑡+122+34在区间(0,+∞)内是增函数,所以y1,故原函数的值域是(1,+∞).题型一题型二题型三题型四反思求形如f(ax)的函数的值域时,常利用换元法,设ax=t,根据f(ax)的定义域求得t的取值范围,再转化为求f(t)的值域.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2×3x+1-9x的最大值和最小值.解:设t=3x,由-1≤x≤2,可知13≤t≤9,则f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3,即x=1时,f(x)取得最大值12;当t=9,即x=2时,f(x)取得最小值-24.