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第2课时指数幂及其运算1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.2.掌握指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.1.分数指数幂(1)𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛,a-mn=1amn=1𝑎𝑚𝑛,其中𝑎0,𝑚,𝑛∈N*,且n1.(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.【做一做1-1】325等于()A.35B.35C.315D.325答案:D【做一做1-2】5-45等于()A.554B.1554C.545D.1545答案:D2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).归纳总结三条运算性质的文字叙述:(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加;(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;(3)积的乘方等于乘方的积.【做一做2-1】已知m0,则𝑚13·𝑚23等于()A.mB.𝑚13C.1D.𝑚29答案:A【做一做2-2】已知x0,y0,化简(𝑥23𝑦-37)21等于()A.xyB.𝑥14𝑦9C.𝑥263𝑦-149D.21𝑥23𝑦-37解析:原式=(𝑥23)21(𝑦-37)21=𝑥23×21𝑦-37×21=𝑥14𝑦−9=𝑥14𝑦9.答案:B3.无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.知识拓展在引入分数指数幂的概念后,指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展;在引入无理数指数幂的概念后,指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展.【做一做3-1】(52)2等于()A.10B.25C.102D.25解析:原式=52×2=52=25.答案:B【做一做3-2】(3)1+3×(3)1-3等于()A.3B.23C.1D.3解析:原式=(3)1+3+1-3=(3)2=3.答案:D𝑎24与𝑎12不一定相等剖析当a=-4时,𝑎24=𝑎24=(-4)24=164=244=2,而𝑎12=-4无意义,所以𝑎24≠𝑎12.其原因是在指数幂的运算性质中,(ar)s=ars成立的条件是a0,r,s∈R,但是𝑎24与𝑎12中a的取值范围分别是R和[0,+∞),所以𝑎24与𝑎12不一定相等.因此,在应用指数幂的运算性质时,要注意其前提条件.题型一题型二题型三题型四根式化为指数式【例1】将下列根式化为分数指数幂的形式:(1)1𝑎1𝑎(𝑎0);(2)1𝑥(𝑥25)23;(3)(𝑏-234)-23(𝑏0).题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=1𝑎1𝑎12=1𝑎32=1𝑎34=𝑎-34.(2)原式=1x·(x25)23=1x·x453=1x953=1(𝑥95)13=1𝑥35=𝑥-35.(3)原式=[(𝑏-23)14]-23=𝑏-23×14×-23=𝑏19.反思解此类问题应熟练应用𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛,1𝑎𝑚𝑛=𝑎-𝑚𝑛(𝑎0,𝑚,𝑛∈N*,且n1),当所求根式含有多重根号时,要先由里向外用分数指数幂写出,再利用性质进行化简.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】将下列根式化为分数指数幂的形式:(1)a·a3(𝑎0);(2)𝑎3·𝑎3;(3)𝑎𝑏3𝑎𝑏5(𝑎0,𝑏0).解:(1)𝑎·a3=𝑎·𝑎123=𝑎323=𝑎32×13=𝑎12.(2)a3·a3=𝑎13·𝑎32=𝑎13+32=𝑎116.(3)𝑎𝑏3𝑎𝑏5=[𝑎𝑏3(𝑎𝑏5)12]12=[a·𝑎12𝑏3·(𝑏5)12]12=(𝑎32𝑏112)12=𝑎34𝑏114.题型一题型二题型三题型四分数指数幂的运算【例2】(1)计算:0.064-13−-780+[(−2)3]-43+16−0.75+|-0.01|12;(2)化简:𝑎92𝑎-33÷𝑎-73·𝑎133(𝑎0).解:(1)原式=(0.43)-13−1+(−2)−4+(24)-34+(0.12)12=0.4−1−1+116+18+0.1=14380.(2)原式=[𝑎13×92·𝑎13×-32]÷[𝑎12×-73·𝑎12×133]=𝑎96-36+76-136=𝑎0=1.反思在进行幂和根式的化简时,一般要先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值和计算.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】化简求值:(1)-338-23+(0.002)-12−10(5−2)−1+(2−3)0;(2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c).解:(1)原式=(-1)-23×338-23+1500-12−105-2+1=278-23+(500)12−10(5+2)+1=49+105−105−20+1=−1679.(2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=−13𝑎−3−(−4)𝑏−2−(−2)𝑐−1=−13𝑎𝑐−1=−𝑎3𝑐.题型一题型二题型三题型四根据条件求代数式的值【例3】已知𝑎12+𝑎-12=3,求𝑎+𝑎−1,𝑎2+𝑎−2的值.分析:观察到𝑎12𝑎-12=1,对已知等式两边平方即可求解.解:∵𝑎12+𝑎-12=3,∴(𝑎12+𝑎-12)2=9.∴a+2+a-1=9,∴a+a-1=7.∴(a+a-1)2=49,∴a2+2+a-2=49.∴a2+a-2=47.题型一题型二题型三题型四反思1.根据条件求值是代数式求值中的常见题型,一般要结合已知条件先化简再求值,另外要特别注意条件的应用,如条件中的隐含条件,整体代入等.本题若先通过𝑎12+𝑎-12=3求出a的值再代入求值,则非常复杂.2.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0,b0):(1)a±2𝑎12𝑏12+𝑏=𝑎12±𝑏122;(2)a-b=𝑎12+𝑏12𝑎12-𝑏12;(3)𝑎32+𝑏32=𝑎12±𝑏12𝑎-𝑎12𝑏12+𝑏;(4)𝑎32−𝑏32=𝑎12-𝑏12𝑎+𝑎12𝑏12+𝑏.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知𝑥12+𝑥-12=4,求𝑥+𝑥-1+4𝑥2+𝑥-2-200的值.解:∵𝑥12+𝑥-12=4,∴𝑥+2+𝑥-1=16.∴x+x-1=14.∴x2+2+x-2=196,∴x2+x-2=194.∴原式=14+4194-200=−3.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽略𝑎1𝑛有意义的条件导致计算出错【例4】化简:(1-a)[(a-1)-2(-𝑎)12]12.错解(1-a)[(a-1)-2(-𝑎)12]12=(1-a)(a-1)-2×12(−𝑎)12×12=(1-a)(a-1)-1(-𝑎)14=−(−𝑎)14.错因分析:错解中忽略了题中(-𝑎)12有意义的条件,若(-𝑎)12有意义,则-a≥0,故a≤0,这样[(𝑎−1)−2]12=(1−𝑎)−1.题型一题型二题型三题型四正解:由(-𝑎)12有意义,可知-a≥0,故a≤0,所以(1-a)[(a-1)-2(-𝑎)12]12=(1-a)[(a-1)-2]12[(−𝑎)12]12=(1-a)(1-a)-1(-𝑎)14=(−𝑎)14.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】化简[(-5)23]34的结果为()A.5B.5C.−5D.−5解析:原式=(523)34=(523)34=523×34=512=5.答案:B