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-1-2.2.2不等式的解集首页课标阐释思维脉络1.会求二元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义,并会解绝对值不等式.3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式,并会简单应用.课前篇自主预习一二三知识点一、不等式的解集与不等式组的解集1.思考方程的解与方程的解集是一样吗?提示:不一样.方程的解集是方程的解构成的集合.2.填空一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.课前篇自主预习一二三3.做一做不等式组2𝑥+1≤3,-𝑥-20的解集是()A.{x|x-2}B.{x|-2x≤1}C.{x|x≤-2}D.{x|x≥-2}解析:2𝑥+1≤3,①-𝑥-20,②解①,得x≤1,解②,得x-2,∴不等式组的解集为{x|x-2},故选A.答案:A课前篇自主预习一二三知识点二、绝对值不等式1.思考方程|x|=3的解是什么?提示:方程|x|=3的解是x=±3.2.填空一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.3.做一做不等式|x+1|5的解集为.解析:|x+1|5⇒-5x+15⇒-6x4.答案:(-6,4)课前篇自主预习一二三知识点三、数轴上两点间的距离及中点坐标公式1.填空(1)距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|.(2)中点坐标公式:A(a),B(b),线段AB的中点M对应的数为x,则2.做一做若A(5),B(7),则AB=,AB的中点坐标为.答案:26x=𝑎+𝑏2.解析:AB=|7-5|=2,AB中点的坐标为5+72=6.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测不等式组的解集例1解不等式组,并把解集在数轴上表示出来:分析:分别求出各不等式的解集,再求出各个解集的交集,并在数轴上表示出来即可.解:(1)解不等式2x+31,得x-1,解不等式x-20,得x2,则不等式组的解集为{x|-1x2}.将解集表示在数轴上如下:(1)2𝑥+31,𝑥-20;(2)𝑥-𝑥+1212,𝑥+84𝑥-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)解不等式x-𝑥+1212,得x2,解不等式x+84x-1,得x3,则不等式组的解集为{x|x3},将不等式组的解集表示在数轴上如下:反思感悟一元一次不等式组的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究求出例1(1)中所有整数解.解:因为不等式组的解集为{x|-1x2},所以其整数解为0,1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解绝对值不等式例2解不等式3≤|x-2|4.分析:此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解:原不等式等价于由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.由②,得-4x-24,∴-2x6.如图所示,原不等式的解集为{x|-2x≤-1,或5≤x6}.|𝑥-2|≥3,①|𝑥-2|4.②课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测例3解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.分析:利用分类讨论思想脱去绝对值符号进行求解.解:方法一:|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图所示).从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1].方法二:令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.①当x-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x-7.②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.③当x2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈⌀.∴原不等式的解集为(-∞,-1].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法三:将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0,构造函数y=|x+7|-|x-2|-3,即作出函数的图象(如图),从图可知,当x≤-1时,有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,∴原不等式的解集为(-∞,-1].y=-12(𝑥-7),2𝑥+2(-7≤𝑥≤2),6(𝑥2).反思感悟含有绝对值的不等式的解题策略解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据所求不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图象求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数轴上的基本公式及应用例4已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求P(x),若不存在,请说明理由.分析:根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)由题意知|𝑥+1|=2,|𝑥-3|=2,可以化为𝑥+1=2,𝑥-3=2或𝑥+1=2,𝑥-3=-2或𝑥+1=-2,𝑥-3=-2或𝑥+1=-2,𝑥-3=2.解得x=1.∴点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点.(2)不存在这样的P(x),理由如下:∵AB=|1+3|=46,∴在线段AB上找一点P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.反思感悟数轴上基本公式的应用(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标;(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知数轴上有点A(-2),B(1),D(3),点C在射线BA上,且有𝐴𝐶𝐵𝐶=12,问在线段CD上是否存在点E使𝐶𝐸𝐸𝐷=14?如存在,求点E坐标,如不存在,请说明理由.解:设C(x),E(x'),则𝐴𝐶𝐵𝐶=𝑥-(-2)𝑥-1=12,x=-5,所以C(-5),∵E在线段CD上,所以𝐶𝐸𝐸𝐷=𝑥'-(-5)3-𝑥'=14,4x'+20=3-x',x'=-175∈(-5,3),∴在线段CD上存在点E-175,使𝐶𝐸𝐸𝐷=14.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论或数轴法比较大小典例比较a和1𝑎的大小.研析方法一:a-1𝑎=𝑎2-1𝑎=(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎,当a=±1时,1𝑎=a.当a-1时,a-10,a+10,a0,(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎0,a1𝑎.当-1a0时,(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎0,∴a1𝑎.当0a1时,(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎0,∴a1𝑎.当a1时,(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎0,a1𝑎.综上,当a=±1时,a=1𝑎,当a-1或0a1时,a1𝑎,当-1a0或a1时,a1𝑎.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法二:由a=1𝑎和1𝑎无意义得到a=±1,a=0,这三个数把数轴分为6部分,由数轴知识可知,当a-1时,a1𝑎,a=-1时,a=1𝑎,-1a0时,a1𝑎,0a1时,a1𝑎,a=1时,a=1𝑎,a1时,a1𝑎.方法点睛本题方法一将a与1𝑎作差,再考虑差的符号的正负,针对所得式子按a的所有情况进行分类讨论,注意考虑全面.方法二把a的各个范围在数轴上表示出来,借助数轴讨论出a和1𝑎的大小,形象直观.两种方法解题的一个关键是先得出各种范围的分界点-1,0,1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.在数轴上从点A(-2)引一线段到B(1),再同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为()A.13B.0C.4D.-2解析:根据数轴标好相应的点易判断.答案:CA.{x|x-2}B.{x|x2}C.{x|-2x≤3}D.{x|-2x3}答案:A解析:由-2𝑥-40,𝑥-3≤0,可得𝑥-2,𝑥≤3,则x-2,故选A.2.不等式-2𝑥-40,𝑥-3≤0的解集是()课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.集合M={x|x0,x∈R},N={x||x-1|≤2,x∈Z},则M∩N=()A.{x|0x≤2,x∈R}B.{x|0x≤2,x∈Z}C.{-1,-2,1,2}D.{1,2,3}解析:由题得N={x|-1≤x≤3,x∈Z}={-1,0,1,2,3},所以M∩N={1,2,3}.故选D.答案:D4.不等式|x|+|x-1|≥3的解集为()A.(-∞,-1]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.[2,+∞)D.[-1,2]解析:当x≥1时,x+x-1≥3,解得x≥2;当0x1时,x+1-x≥3,不成立;当x≤0时,-x+1-x≥3,解得x≤-1.综上,不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞).故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.解不等式组:𝑥-3(𝑥-2)≥-4,𝑥-12𝑥+13.解:解不等式x-3(x-2)≥-4,得x≤5.解不等式x-12𝑥+13,得x4.则不等式组的解集为{x|x4}.课堂篇探究学习