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-1-2.2.1不等式及其性质首页课标阐释思维脉络1.了解日常生活中的不等关系.2.掌握不等式的性质.3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证明.课前篇自主预习一二知识点一、不等关系与不等式填空:(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于≥≤≤≥≥≤(2)不等式的定义:含有不等号的式子.三四课前篇自主预习一二知识点二、实数大小的比较1.思考怎样比较a2+b2与2ab的大小关系?提示:(作差法)∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.三四课前篇自主预习一二2.填空:(1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系.①数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下:点A,B的位置关系点A和点B重合点A在点B右侧点A在点B左侧实数a,b的大小关系a=babab三四课前篇自主预习一二(2)比较两个实数的大小.方法作差法依据a-b0⇔aba-b0⇔aba-b=0⇔a=b结论对于任意两个实数a和b,在a=b,ab,ab三种关系中有且仅有一种关系成立三四课前篇自主预习一二3.已知𝑎𝑏=𝑐𝑑,如果cd,那么ab是否一定成立?请说明理由.提示:不一定成立.如当c=1,d=-1时,cd,此时若a=-1,b=1,也满足𝑎𝑏=𝑐𝑑,但不满足ab.4.做一做:设a,b0,P=𝑎+𝑏,Q=𝑎+𝑏,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P≤QC.PQD.PQ解析:P2=(𝑎+𝑏)2=a+b+2𝑎𝑏,Q2=(𝑎+𝑏)2=a+b.∵a,b0,∴P2Q2.∴PQ.答案:C三四课前篇自主预习一二三四知识点三、不等式的性质1.不等式的性质(1)性质1:如果ab,那么a+cb+c;(2)性质2:如果ab,c0,那么acbc;(3)性质3:如果ab,c0,那么acbc;(4)性质4:如果ab,bc,那么ac.(5)性质5:ab⇔ba.2.不等式的性质的推论(1)推论1:如果a+bc,则ac-b;(2)推论2:如果ab,cd,那么a+cb+d;(3)推论3:如果ab0,cd0,那么acbd;(4)推论4:如果ab0,那么anbn(n∈N,n1);(5)推论5:如果ab0,那么𝑎𝑏.课前篇自主预习一二三四3.利用不等式性质应注意哪些问题?提示:在使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意.4.做一做已知a≥b,可以推出()解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.答案:BA.1𝑎≥1𝑏B.ac2≥bc2C.𝑎𝑐2𝑏𝑐2D.(ac)2≥(bc)2课前篇自主预习一二三四5.做一做判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)若ab,cd,则a-cb-d.()(2)若ab,则1a1b.()(3)若ab0,cd0,则adbc.()(4)已知ab,ef,c0,则f-ace-bc.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)√课前篇自主预习一二三四知识点四、直接证明与间接证明1.直接证明(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q课前篇自主预习一二三四(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件2.间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.课前篇自主预习一二三四3.做一做欲证2−36−7成立,只需证()A.(2−3)2(6−7)2B.(2−6)2(3−7)2C.(2+7)2(3+6)2D.(2−3−6)2(-7)2解析:∵2+70,3+60,∴2−36−7⇔2+73+6⇔(2+7)2(3+6)2.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析应用不等式的性质证明不等式例1若cab0,求证:𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏.证明:𝑎𝑐-𝑎−𝑏𝑐-𝑏=𝑎(𝑐-𝑏)-𝑏(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏)=𝑎𝑐-𝑎𝑏-𝑏𝑐+𝑎𝑏(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏)=𝑎𝑐-𝑏𝑐(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏)=𝑐(𝑎-𝑏)(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏).∵cab0,∴a-b0,c-a0,c-b0.∴𝑐(𝑎-𝑏)(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏)0,𝑎𝑐-𝑎−𝑏𝑐-𝑏0.∴𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟证明不等式的解题策略1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.3.除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差比较法、作商比较法、分析法等.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1已知ab0,cd0,e0,求证:𝑒(𝑎-𝑐)2𝑒(𝑏-𝑑)2.证明:𝑐𝑑0⇒-𝑐-𝑑0,又𝑎𝑏0,⇒a-cb-d0⇒(a-c)2(b-d)20⇒1(𝑎-𝑐)21(𝑏-𝑑)2,又𝑒0,⇒𝑒(𝑎-𝑐)2𝑒(𝑏-𝑑)2.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析利用不等式的性质求范围例2(1)已知-6a8,2b3,则2a+b的取值范围是,a-b的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.(1)答案:(-10,19)(-9,6)(2)解:由𝑎-𝑐=𝑓(1),4𝑎-𝑐=𝑓(2)得𝑎=13[𝑓(2)-𝑓(1)],𝑐=-43𝑓(1)+13𝑓(2).则f(3)=9a-c=83f(2)-53f(1).∵-1≤f(2)≤5,∴-83≤83f(2)≤403.∵-4≤f(1)≤-1,∴53≤-53f(1)≤203.∴-83+53≤83f(2)-53f(1)≤403+203,即-1≤f(3)≤20.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟利用不等式的性质求代数式的范围要注意的问题1.恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.2.运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,切不可用似乎是很显然的理由,代替不等式范围的求解.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究在本例2(1)条件下,求ab和的取值范围.解:(1)因为-6a8,2b3,所以①当0≤a8时,0≤ab24,②当-6a0时,0-a6,所以0-ab18,所以-18ab0,由①②知-18ab24.(2)因为-6a8,2b3,𝑎𝑏所以131𝑏12.当0≤a8时,0≤𝑎𝑏4;当-6a0时,0-a6,故0-𝑎𝑏3,所以-3𝑎𝑏0,综上可知,-3𝑎𝑏4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析综合法与分析法的应用例3设a≥b0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明:方法一:(综合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为a≥b0,所以a-b≥0,3a2-2b20,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.方法二:(分析法)要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b0,∴a-b≥0,3a2-2b22a2-2b2≥0,∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得证.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2如果a𝑎+b𝑏a𝑏+b𝑎,则实数a,b应满足的条件是.解析:a𝑎+b𝑏a𝑏+b𝑎⇔a𝑎-a𝑏b𝑎-b𝑏⇔a(𝑎−𝑏)b(𝑎−𝑏)⇔(a-b)(𝑎−𝑏)0⇔(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)20,只需a≠b且a,b都不小于零即可.答案:a≠b且a≥0,b≥0当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析不等式性质的实际应用例4建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.110思路分析:可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,根据题意知ab,且𝑎𝑏≥110,再设同时增加的面积为m,得到a+mb+m,用比较法判断𝑎+𝑚𝑏+𝑚与𝑎𝑏的大小即可.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析解:变好了.理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据问题的要求可知ab,且𝑎𝑏≥110.由于𝑎+𝑚𝑏+𝑚−𝑎𝑏=𝑚(𝑏-𝑎)𝑏(𝑏+𝑚)0,于是𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏.又𝑎𝑏≥110,因此𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏≥110.所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变好了.反思感悟一般地,设a,b为正实数,且ab,m0,则𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏.利用这个不等式,可以解释很多现象,比如bg糖水中有ag糖(ba0),若再添上mg糖(m0且未达到饱和状态),则糖水变甜了.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究现有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为a2,C,D的底面积均为b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.现在规定一种游戏规则:每人一次从四种容器中取两个,盛水总和多者为胜.请研究对于先取者是否有必胜的方案?如果有,有几种?分析:通过建立起问题的数学模型,可以发现其实质就是比较其中两个容器的容积之和与另外两个容器的容积之和的大小关系.为此,需先计算出A,B,C,D四个容器的容积,再运用作差比较法进行比较大小.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析解:设A,B,C,D四个容器的容积依次为VA,VB,VC,VD.由题意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.将A,B,C,D两两一组进行比较有下列三种可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,(VA+