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-1-2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系首页课标阐释思维脉络1.理解一元二次方程,会求一元二次方程的解集.2.明确一元二次方程根与系数的关系并会灵活应用.课前篇自主预习一二知识点一、一元二次方程的解集1.思考什么是一元二次方程?其解的情况如何?提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.当Δ=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实根;当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根;当Δ=b2-4ac0时,方程无实根.课前篇自主预习一二2.填空方程ax2+bx+c=ax+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎(a≠0),(1)当Δ=b2-4ac0时,方程的解集为-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,-𝑏-𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程的解集为-𝑏2𝑎;(3)当Δ=b2-4ac0时,方程的解集为⌀.课前篇自主预习一二3.做一做关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是()A.两个不等的实数根B.两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-30,∴该方程无实数根.答案:C课前篇自主预习一二知识点二、一元二次方程根与系数的关系1.思考(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,其大小如何?并求出x1+x2与x1x2的大小.(2)解方程x2-x-2=0,你能发现该方程的两根与其系数之间有怎样的关系?课前篇自主预习一二提示:(1)x1=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,x2=-𝑏-𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,x1+x2=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎+-𝑏-𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎=-2𝑏2𝑎=-𝑏𝑎.x1x2=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎×-𝑏-𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎=(-𝑏)2-(𝑏2-4𝑎𝑐)4𝑎2=4𝑎𝑐4𝑎2=𝑐𝑎.(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,∴方程的两根为x1=2,x2=-1.x1+x2=1,x1x2=-2.课前篇自主预习一二2.填空当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系:3.做一做一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为.解析:设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,答案:2(1)x1+x2=-𝑏𝑎;(2)x1x2=𝑐𝑎.∴x1+x2=--63=2.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测求一元二次方程的解集例1求方程x2+5x-2=0的解集.分析:利用公式法求解一元二次方程的两根.解:∵x2+5x-2=0,∴x1,2=-5±52-4×1×(-2)2×1=-5±332,∴该方程的解集为-5-332,-5+332.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟一元二次方程的常见解法(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.(1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±𝑝或mx+n=±𝑝,从而通过降次转化为一元一次方程.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测(3)因式分解法①平方差公式法;②完全平方公式法;③提取公因式法;④十字相乘法.(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:当b2-4ac≥0时,x1,2=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究本例中两根之积为多大?解:x1x2=-21=-2.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测一元二次方程根与系数关系的应用例2已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0.(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.分析:(1)根据判别式的意义判断根的情况;(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.解:(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,∵m2≥0,∴Δ0,∴方程有两个不相等的实根.(2)设方程的另一个根为x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.∵-1+3=m,∴m=2.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟一元二次方程根的情况1.一元二次方程的判别式方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):当Δ=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ=b2-4ac0时,方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2,则有:(2)以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.x1+x2=-𝑏𝑎,x1x2=𝑐𝑎.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.解:(1)依题意得Δ≥0,即[-2(k-1)]2-4k2≥0,解得k≤12.(2)依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.又由(1)知k≤12,∴x1+x2=2(k-1)0,∴x1+x2=-(x1x2-1),即2(k-1)=-(k2-1),解得k1=1,k2=-3.∵k≤12,∴k=-3.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测整体代入法求代数式的值典例若a是方程x2+x-2019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值是.解析:∵a是方程x2+x-2019=0的根,∴a2+a-2019=0,即a2+a=2019.∴2a2+2a-1=2×2019-1=4037.答案:4037方法点睛根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2019,然后利用整体代入法计算即可,而不需求出方程的根.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测1.下列方程中,无实数根的方程是()A.x2+1=0B.x2+x=0C.x2+x-1=0D.x2=0解析:A.∵Δ=-4×1=-40,∴方程无实数根;B.∵Δ=120,∴方程有两个不相等实数根;C.∵Δ=12-4×1×(-1)=50,∴方程有两个不相等实数根;D.∵Δ=0,∴方程有两个相等实数根.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有实数根,则m的取值范围是()A.m≤3且m≠2B.m3C.m≤3D.m3且m≠2解析:∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有实数根,∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,∴m的取值范围是m≤3且m≠2.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测3.已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1,x2,则x1x2的值为()A.2B.-2C.1D.-1故选D.答案:D解析:∵x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,答案:-13解析:∵一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1,x2,∴x1x2=-11=-1.4.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,则x1+x2=,𝑥12+𝑥22=.∴x1+x2=-𝑏𝑎=-11=-1,x1·x2=𝑐𝑎=-11=-1,∴𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1·x2=(-1)2-2×(-1)=1+2=3.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测5.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)若方程有一个实数根是5,求此方程的另一个根.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4(m-1)0,即4-4m+40,解得m2.(2)设方程的另一个实数根为x2,∵5+x2=2,∴x2=-3.∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.课堂篇探究学习