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-1-本讲整合知识网络专题归纳高考体验答案①圆心角②判定③性质④弦切角⑤相交弦⑥割线⑦切割线⑧切线长知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题一:与圆有关的角的计算与证明圆中的角有三类:圆心角、圆周角、弦切角,圆中有关角的计算和证明问题多与这三类角有关,因此圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理是解决这类问题的知识基础,求解这类问题时,通常利用圆心角、圆周角、弦切角以及圆弧之间的关系来进行转化,求解中注意运用圆内接四边形的对角互补等性质.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二例1如图,锐角三角形ABC内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧于点E,连接EC,则∠OEC=()A.5°B.10°C.15°D.20°𝐴𝐵知识网络专题归纳高考体验专题一专题二解析如图,连接OC,∵∠ABC=60°,∠BAC=40°,∴∠ACB=80°.∵OE⊥AB,∴E为𝐴𝐵的中点.∴𝐴𝐸,𝐵𝐸和𝐵𝐶的度数均为80°,因此∠EOC=80°+80°=160°,而△OEC为等腰三角形,故∠OEC=10°.答案B知识网络专题归纳高考体验专题一专题二变式训练1如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BC到E,若∠BCD∶∠ECD=3∶2,则∠BOD等于()A.120°B.136°C.144°D.150°解析由∠BCD∶∠ECD=3∶2,可得∠ECD=72°.由圆内接四边形的性质知∠A=∠DCE,所以∠A=72°,故∠BOD=2∠A=144°.答案C知识网络专题归纳高考体验专题一专题二例2如图所示,D,E分别是△ABC的BC,AC边上的点,且∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC.分析要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采用分类讨论来解决.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二证明作△ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:①点D在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.(1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,连接AF,如图所示.则∠AFB=∠AEB.而∠AEB=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二(2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于F,连接AF,如图所示,则∠AFB=∠AEB.又∵∠AEB=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆内.综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.∴∠CED=∠ABC.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二变式训练2如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点.求证:∠OCB=∠D.证明因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC,故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,所以∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D,因此∠OCB=∠D.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题二:与圆有关的线段的计算与证明解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理等,由此获得成比例的线段或相等的线段,再结合直角三角形中的射影定理、相似三角形的性质等进行等比例代换或等线段代换,从而证得结论,或者建立方程(组),求得未知线段.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二例3如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点,已知AC=4,BE=10,且CB=AD,求DE的长.分析先由割线定理求出CB的长度,从而得出CD,CE的长度,再证明△CDE为直角三角形,利用勾股定理求得DE.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二解设CB=AD=x,则由割线定理得CA·CD=CB·CE,即4(4+x)=x(x+10),化简得x2+6x-16=0,解得x=2或x=-8(舍去),从而CD=4+2=6,CE=2+10=12.连接AB,因为CA为小圆的直径,所以∠CBA=90°,即∠ABE=90°,则由圆的内接四边形对角互补,得∠D=90°,即△CDE是直角三角形,则CD2+DE2=CE2,所以62+DE2=122,解得DE=63.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二知识网络专题归纳高考体验专题一专题二变式训练3如图,AT切☉O于T,若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC等于()A.3B.4C.6D.8解析∵AT为☉O的切线,∴AT2=AD·AC.又∵AT=6,AD=4,∴AC=9.∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB,∴△EAD∽△CAB,答案C∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶,故BC=𝐷𝐸·𝐴𝐶𝐴𝐸=2×93=6.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二例4如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点,且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB⊥EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.分析对于(1),可利用弦切角与圆周角的关系及等腰三角形的底角相等证∠BDA=90°.对于(2),应先证明△BDA≌△ACB,再证明∠DCE=90°即可.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.因为AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°,故AB是圆的直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,于是ED为直径.由于AB和ED都是圆的直径,故ED=AB.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二知识网络专题归纳高考体验专题一专题二变式训练4如图,点A为圆外一点,过点A作圆的两条切线,切点分别为B,C,ADE是圆的割线,连接CD,BD,BE,CE.(1)求证:BE·CD=BD·CE;(2)延长CD交AB于点F,若CE∥AB,证明:F为线段AB的中点.知识网络专题归纳高考体验专题一专题二证明(1)由题意可知∠ACD=∠AEC,∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE,∴𝐶𝐷𝐶𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐸.同理△ADB∽△ABE,𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐸.∵AB=AC,∴𝐶𝐷𝐶𝐸=𝐵𝐷𝐵𝐸,故BE·CD=BD·CE.(2)如图,由切割线定理得FB2=FD·FC.∵CE∥AB,∴∠FAD=∠AEC.又AC切圆于C,∴∠ACD=∠AEC,∴∠FAD=∠FCA.又∠AFD=∠CFA,∴△AFD∽△CFA,∴𝐴𝐹𝐶𝐹=𝐹𝐷𝐴𝐹,即AF2=FD·FC,∴FB2=AF2,即FB=FA,故F为线段AB的中点.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4考点1:圆周角问题1.(2016·全国丙高考)如图,☉O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.𝐴𝐵知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4解(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.所以∠PBA=∠PCB.又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.因为𝐴𝑃=𝐵𝑃,知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点42.(2013·课标全国Ⅰ高考)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.3知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4(1)证明连接DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=32.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于32.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4考点2:圆内接四边形问题3.(2015·湖南高考)如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4证明(1)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点44.(2016·全国乙高考)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,OA为半径作圆.(1)证明:直线AB与☉O相切;(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.12知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4解(1)设E是AB的中点,连接OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切.(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD.12知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4考点3:切割线问题5.(2016·天津高考)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点4解析设CE=x,如图,连接AC,BC,AD,则由相交弦定理得DE·CE=AE·BE,DE=2𝑥,又BD=DE=2𝑥,所以AC=AE=1.因为AB是直径,所以BC=32-12=22,AD=9-4𝑥2.由题意可知,△BCE∽△DAE,则𝐵𝐶𝐴𝐷=𝐸𝐶𝐴𝐸,即229-4𝑥2=𝑥1,解得x=233.答案233知识网络专题归纳高考体验考点1考点2考点3考点46.(2015·重庆高考)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE=.解析因为PA是圆的切线,所以有PA2=PC·PD,因此CD=PD-PC=9.又因为CE∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3.又由相交弦定理可得AE·BE=CE·ED,答案2于是PD=𝑃𝐴2𝑃𝐶=623=12,所以BE=6×39=2.知识网络专题归纳高考体验考点1