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-1-二圆内接四边形的性质与判定定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.了解圆内接四边形的概念.2.理解并掌握圆内接四边形的性质定理及其应用.3.理解圆内接四边形的判定定理及其推论.圆内接四边形的性质与判定定理定义性质定理定理1定理2判定定理判定定理推论XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1231.圆内接四边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.(2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1232.圆内接四边形的性质定理(1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补.如图,若四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.该定理的作用是证明两个角互补.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123(2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.如图,若四边形ABCD内接于圆O,E为AB延长线上一点,则∠CBE=∠ADC.该定理的作用是证明两个角相等.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做1如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠A=2∠C,则∠C=;若∠ADC=85°,则∠ABE=.解析因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠A+∠C=180°.又∠A=2∠C,所以∠C=60°.又因为∠ADC=∠ABE,∠ADC=85°,所以∠ABE=85°.答案60°85°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1233.圆内接四边形的判定定理(1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°),则A,B,C,D四点共圆.该定理的作用是证明四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123(2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D四点共圆.该推论的作用是证明四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做2如图所示,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证:A,B,C,D四点共圆.证明∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∴∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴A,B,C,D四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)任意矩形都有唯一的外接圆.()(2)菱形一定有外接圆.()(3)任意正多边形都有外接圆.()(4)圆内接梯形一定是等腰梯形.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答探究一圆内接四边形性质定理的应用【例1】(1)如图所示,已知☉O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,若∠A=50°,∠P=30°,求∠Q的度数.(2)如图,在☉O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交☉O于点D.求证:AC2=AD·AE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答分析(1)利用圆内接四边形的性质求得∠CDQ和∠DCQ的度数,再利用三角形的内角和定理求得∠Q的度数;(2)可考虑证明△ADC∽△ACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式.(1)解∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠QCD=∠A=50°.又∠P=30°,∴∠CDQ=∠P+∠A=80°,故∠Q=180°-80°-50°=50°.(2)证明如图,连接DC,∵AC=AB,∴∠ACB=∠B.又四边形ABCD内接于☉O,∴∠EDC=∠B,∴∠ACB=∠EDC,∴∠ADC=∠ACE.∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE,∴𝐴𝐶𝐴𝐸=𝐴𝐷𝐴𝐶,故AC2=AD·AE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答变式训练1如图所示,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为☉O上一点,AE=AC.求证:∠PDE=∠POC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答证明连接BE,BC.∵AE=AC,AB为直径,∴在Rt△ABE和Rt△ABC中,∠ABE=∠ABC,∠AEB=∠ACB,AE=AC.∴Rt△ABE≌Rt△ABC,∴∠OAE=∠OAC.又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠OAE,∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAE=∠EAC.又四边形ACDE内接于☉O,∴∠EAC=∠PDE,∴∠PDE=∠POC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答探究二圆内接四边形判定定理的应用【例2】如图所示,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于点F,AE=EC,EG⊥AC交AB于点G.求证:(1)D,E,F,G四点共圆;(2)G,B,C,F四点共圆.分析(1)连接GF,则易证△GDF与△GEF均为直角三角形,由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.(2)连接DE,由条件易证DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠GFE,从而∠GFE=∠B,从而得到结论.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答证明(1)连接GF.由DF⊥AB,EG⊥AC,知∠GDF=∠GEF=90°,∴GF的中点到D,E,F,G四点的距离相等,∴D,E,F,G四点共圆.(2)连接DE.由AD=DB,AE=EC,知DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又由(1)中D,E,F,G四点共圆,∴∠ADE=∠GFE,∴∠GFE=∠B,∴G,B,C,F四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答变式训练2如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD,BC分别交于E,F,求证:C,D,E,F四点共圆.证明连接EF,因为四边形ABCD为平行四边形,所以∠B+∠C=180°.因为四边形ABFE内接于圆,所以∠B+∠AEF=180°.所以∠AEF=∠C,故C,D,E,F四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答圆内接四边形性质定理和判定定理的综合应用典例如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.(1)证明CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆.【审题策略】利用圆内接四边形的性质与判定定理证明.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答【规范展示】证明(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,所以∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.由(1)得CD∥AB,所以∠FAB=∠GBA,所以∠AFG+∠GBA=180°,故A,B,G,F四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答【答题模板】(1)第1步:证△EDC两底角相等;第2步:利用圆内接四边形的性质定理得两角相等;第3步:利用同位角相等证得结论.(2)第1步:证明两角相等;第2步:证明两三角形全等;第3步:由圆内接四边形的判定定理证得结论.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二规范解答变式训练已知CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC于点P,FQ⊥AC于点Q.求证:A,B,P,Q四点共圆.证明连接PQ,在四边形QFPC中,因为PF⊥BC,FQ⊥AC,所以∠FQA=∠FPC=90°.所以Q,F,P,C四点共圆.所以∠QFC=∠QPC.又因为CF⊥AB,所以∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余,所以∠A=∠QFC.所以∠A=∠QPC.故A,B,P,Q四点共圆.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.已知四边形ABCD是圆内接四边形,下列结论中正确的有()①若∠A=∠C,则∠A=90°;②若∠A=∠B,则四边形ABCD是等腰梯形;③∠A的补角与∠C的补角互补;④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4.A.1个B.2个C.3个D.4个答案BXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.圆内接平行四边形一定是()A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形解析因为圆内接四边形的对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,E为AB延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于()A.20°B.40°C.80°D.100°解析因为∠CBE=40°,所以∠ADC=40°,于是∠AOC=2∠ADC=80°.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123454.若BE和CF分别是△ABC的边AC和AB边上的高,则四点共圆.解析由∠BEC=∠BFC=90°,可得△BCE和△BCF共圆,从而B,C,E,F四点共圆.答案B,C,E,FXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123455.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线