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-1-第二讲直线与圆的位置关系-2-一圆周角定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解圆周角定理及其推论,并能用该定理解决有关问题.2.了解圆心角定理,并能用该定理解决相关问题.圆周角定理圆周角定理定理推论1推论2圆心角定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1231.圆周角定理(1)圆周角定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角.(2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做1如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则∠AOB=.解析由圆周角定理可得∠AOB=2∠APB=130°.答案130°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1232.圆心角定理(1)圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角.(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做2如图是两个同心圆,圆心为点O,点C,D在大圆上,A,B,M在小圆上,若∠AMB=40°,则劣弧的度数等于()A.20°B.40°C.80°D.70°解析因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧的度数为80°.答案C𝐶𝐷𝐶𝐷XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1233.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做3如图所示,若D是劣弧的中点,则与∠ABD相等的角的个数是()A.7B.3C.2D.1解析由同弧或等弧所对的圆周角相等,知∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个.答案B𝐴𝐶XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半.()(2)在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧.()(3)同弦或等弦所对的圆周角相等.()(4)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一角、弦、弧等的计算问题【例1】(1)如图,在▱ABCD中,∠D=60°,以点A为圆心,AB的长为半径画圆分别交AD,BC于点F,G,延长BA交☉A于E,则的度数等于.𝐹𝐺XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析(2)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,点D是上任意一点,AD=6cm,BD=5cm,CD=3cm,则线段ED的长等于.𝐵𝐶XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解析(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D=60°,∴𝐸𝐹𝐺的度数为120°.∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60°,∴𝐸𝐹的度数为60°,故𝐹𝐺的度数为60°.(2)∵AB=AC,∴∠ADB=∠CDE.又BD=BD,∴∠BAD=∠ECD,∴△ABD∽△CED,∴𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐵𝐷𝐸𝐷,即63=5𝐸𝐷,∴ED=2.5cm.答案(1)60°(2)2.5cmXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于()A.4πB.8πC.12πD.16π解析连接OA,OB,∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB为等边三角形.∵AB=4,∴OA=OB=4,∴S☉O=π·42=16π.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二角、弦、弧关系的证明问题【例2】如图,AB是☉O的一条弦,∠ACB的平分线交AB于点E,交☉O于点D.求证:AC·CB=DC·CE.分析通过圆周角定理与圆心角定理证明△ACE与△DCB相似,得到比例式,再转化为等积式.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明连接BD,在△ACE与△DCB中,∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角,∴∠EAC=∠BDC.又CE为∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE∽△DCB,∴𝐴𝐶𝐶𝐸=𝐷𝐶𝐶𝐵,故AC·CB=DC·CE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图,在☉O中,已知AB=AC,D是BC延长线上的一点,AD交☉O于E,求证:AB2=AD·AE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明连接BE(如图),∵AB=AC,∴𝐴𝐵=𝐴𝐶,∴∠ABD=∠AEB.在△ABE和△ADB中,∠BAE=∠DAB,∠AEB=∠ABD,∴△ABE∽△ADB.∴𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐵,故AB2=AD·AE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三圆周角定理、圆心角定理的综合应用【例3】如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的☉O交AB于点E,D为AC的中点,连接BD交☉O于点F.求证:𝐵𝐶𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐸𝐹.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析分析先证明△BEF∽△BDA⇒𝐸𝐹𝐵𝐸=𝐴𝐷𝐵𝐷,再证明△CBF∽△DBC⇒𝐶𝐹𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐷,最后由AD=CD,可得结论.证明∵BC为☉O的直径,∴∠BFC=90°,∠BEC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠A.又∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A.∵∠EBF=∠DBA,∴△BEF∽△BDA.∴𝐸𝐹𝐵𝐸=𝐴𝐷𝐵𝐷.∵∠BFC=∠BCA,∠CBD=∠CBD,∴△CBF∽△DBC.∴𝐶𝐹𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐷.∵D为AC的中点,∴AD=CD,∴𝐸𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐵𝐶,∴𝐵𝐶𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐸𝐹.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图所示,已知AB是半圆O的直径,弦AD,BC相交于P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于()A.34B.43C.53D.√73XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解析连接BD,则∠BDP=90°.易知△CPD∽△APB,∴𝐶𝐷𝐴𝐵=𝑃𝐷𝑃𝐵=34.在Rt△BPD中,cos∠BPD=𝑃𝐷𝑃𝐵,∴cos∠BPD=34,∴tan∠BPD=√73.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析错用圆周角定理致误典例已知☉O中的弦AB的长等于半径,求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.错解根据题意画出大致示意图,如图所示,∠AOB和∠C分别是弦AB所对的圆心角和圆周角.∵AB=OA=OB,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠C=30°,∴弦AB所对的圆心角为60°,它所对的圆周角为30°.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析正解根据题意画出大致示意图如图所示,∠AOB为弦AB所对的圆心角,∠C和∠D是弦AB所对的圆周角.∵AB=OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠C=30°,∴∠D=150°,∴弦AB所对的圆心角为60°,所对的圆周角为30°或150°.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=.解析∠BAD是𝐵𝐶𝐷所对的圆周角,∠BCD是𝐵𝐴𝐷所对的圆周角,则𝐵𝐶𝐷所对的圆心角为2×75°=150°.又𝐵𝐶𝐷和𝐵𝐴𝐷所对圆心角的和是周角360°,∴𝐵𝐴𝐷所对圆心角是360°-150°=210°,∴𝐵𝐴𝐷所对圆周角∠BCD=12×210°=105°.答案105°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.如图,点C,D,M在圆O上,若∠OCD=15°,则∠CMD的度数等于()A.30°B.150°C.75°D.60°解析因为∠OCD=15°,答案C所以∠COD=150°,于是∠CMD=12∠COD=75°.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.如图所示,在☉O中,已知∠ACB=∠CDB=60°,AC=3,则△ABC的周长等于()解析由圆周角定理得∠BAC=∠CDB=∠ACB=60°,所以△ABC为等边三角形,所以其周长等于9.答案AA.9B.6C.12D.6+3√2XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.如图所示,若圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD相交于E,则图中相似三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对解析由推论1知∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD,∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.答案BXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123454.如图所示,AB为☉O的直径,AC=4cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,则CD的长为cm.解析由AB为☉O的直径,可知∠ACB=90°.由勾股定理可得AB=5cm.S△ACB=12AC·BC=12AB·CD,即3×4=5·CD,所以