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2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1.了解函数零点的概念,并会求简单函数的零点.2.掌握一元二次方程根的存在性定理及会判断一元二次方程根的个数的方法.3.了解二分法的定义及其原理.4.了解函数的零点与方程根的联系,能根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.12341.函数的零点(1)概念.一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.(2)意义.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.1234名师点拨1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数都没有零点.当函数有零点时,可能不止一个.例如,函数y=x2-9有两个零点.2.函数零点的求法主要有两种:(1)代数法:求f(x)的零点,就是求方程f(x)=0的根;(2)几何法:求f(x)的零点,就是求f(x)图象与x轴交点的横坐标.y=1𝑥与y=x2+61234【做一做1-1】函数f(x)=2x+6的零点是()A.(0,6)B.(-3,0)C.3D.-3解析:令f(x)=2x+6=0,解得x=-3,故所求零点是-3.答案:D【做一做1-2】下列函数中存在零点的是()C.f(x)=-x2D.f(x)=4解析:在C选项中,令f(x)=-x2=0,解得x=0,故f(x)=-x2存在零点,其余选项中f(x)=0均无解,不存在零点.答案:CA.f(x)=2𝑥B.f(x)=|x|+112342.二次函数的零点(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点的个数.①当Δ0时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点;②当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根(重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重的零点或说有二阶零点;③当Δ0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数没有零点.(2)二次函数零点的性质.①当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号;②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.1234【做一做2-1】若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点2和3,则a-b的值等于.解析:依题意知2和3是方程x2+ax+b=0的两个根,所以a-b=-11.答案:-11【做一做2-2】已知函数f(x)=ax2+4x+a有二阶零点,则a的值为.解析:由题意可知f(x)是二次函数,且Δ=0,即42-4a2=0,得a=±2.答案:±2故2+3=-𝑎,2×3=𝑏,解得a=-5,b=6,12343.零点存在性的判断方法如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)0,那么这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.(1)若函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点;(2)若函数f(x)的图象通过零点时没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点.知识拓展对于任意函数y=f(x),只要它的图象是不间断的,则有(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值就变号;(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.对于y=f(x)的图象是不间断的,有时说成y=f(x)是连续的,都指的是图象在指定区间上是一整条曲线而不是间断的若干段.1234【做一做3】函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间内()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]解析:因为f(-2)=-110,f(-1)=-20,f(0)=10,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]内.答案:B12434.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法(1)二分法的定义.对于在区间[a,b]上连续不间断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤.已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:第一步在D内取一个闭区间[a0,b0]⊆D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)·f(b0)0.零点位于区间[a0,b0]中.1243第二步取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为计算f(x0)和f(a0),并判断:(1)如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;(2)如果f(a0)·f(x0)0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0;(3)如果f(a0)·f(x0)0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.第三步取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为x0=12(a0+b0).x1=12(a1+b1).1243计算f(x1)和f(a1),并判断:(1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;(2)如果f(a1)·f(x1)0,则零点位于区间[a1,x1]中,令a2=a1,b2=x1;(3)如果f(a1)·f(x1)0,则零点位于区间[x1,b1]中,令a2=x1,b2=b1.……继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]中,当区间的长度bn-an不大于给定的精度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.1243归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然.要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间分为二,分后两端近零点.1243【做一做4-1】函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必在的区间是()A.[-2,1]B.52,4C.1,74D.74,52解析:因为f(-2)0,f(4)0,𝑓-2+42=𝑓(1)0,𝑓1+42=𝑓520,𝑓1+522=𝑓740,所以零点在区间74,52内.答案:D1243【做一做4-2】用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)0,f(0.5)0,可得其中一个零点x0∈,第二次计算.以上横线应填的内容分别是()A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.125)解析:因为f(0)0,f(0.5)0,所以函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),答案:A第二次计算𝑓0+0.52=𝑓(0.25).一、函数的零点是实数值而不是几何中的点剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这个实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0时仅有一个实根x=-1,所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见函数f(x)=x+1的零点是一个实数-1,而不是一个点.名师点拨1.虽然有的函数在区间上不连续,但它可能有零点存在,如f(x)=𝑥+|𝑥|𝑥,𝑥≠0,0,𝑥=0.有的函数在区间上是连续的,也可能不存在零点,如y=1,x∈R.2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.二、判断函数零点存在性应注意的问题1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且满足f(a)·f(b)0,则f(x)的零点不一定只有一个,也可能有多个.例如,图①和②分别是函数f(x)和g(x)的图象,由图知,f(x)与g(x)的图象在[a,b]上连续不间断,且满足f(a)·f(b)0,图①中函数f(x)在(a,b)内有两个零点,图②中函数g(x)在(a,b)内有三个零点.由此可见,满足题设条件的函数的零点不一定只有一个.2.当函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点时,不一定就必须有f(a)·f(b)0.例如,函数f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,但却有f(-2)·f(2)0.3.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象不是连续曲线,则当f(a)·f(b)0时,f(x)在区间(a,b)内不一定有零点.例如,函数f(x)=1𝑥在闭区间[-2,2]上的图象不连续,虽有f(-2)·f(2)0,但f(x)在(-2,2)内没有零点.三、教材中的“?”想想看,你还能找到计算函数零点的另一种算法吗?剖析:试位法是求函数零点的又一方法.具体方法如下:第一步,在D内取一个闭区间[a0,b0]⫋D,使f(a0)f(b0)0,令x0=a0,x1=b0.第二步,连接两点(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),两点的直线方程为y=f(x1)+𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥0)𝑥1-𝑥0(x-x1).直线和x轴必有一个交点(x2,0),易知x2=x1−𝑥1-𝑥0𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥0)·f(x1),若f(x2)=0,则x2为它的实根.若f(x2)≠0,则和二分法类似,根据f(x)在区间[x0,x2],[x2,x1]两端是否异号而求出区间.若f(x0)f(x2)0,则令[x0,x2]=[a1,b1];若f(x2)f(x1)0,则令[x2,x1]=[a1,b1].第三步,在区间[a1,b1]上重复第二步过程,求出x3和区间[a2,b2].如此继续下去,直到第n步,函数的零点总位于[an,bn]上,当区间[an,bn]的长度小于2ε(ε为精确度)时,计算终止.第四步,得到零点近似值𝑎𝑛+𝑏𝑛2.题型一题型二题型三题型四题型五题型一求函数的零点【例1】求下列各函数的零点:(1)f(x)=-4x+3;(2)f(x)=x2-3x-10;(3)f(x)=|x-2|-1;(4)f(x)=1𝑥−4x;(5)f(x)=𝑥2-4𝑥𝑥-3.分析:由于函数解析式已给出,因此可通过解方程f(x)=0求得零点.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)令f(x)=-4x+3=0,解得x=34,故函数的零点是34;(2)令f(x)=x2-3x-10=0,解得x=5或x=-2,故函数的零点是5和-2;(3)令f(x)=|x-2|-1=0,解得x=1或x=3,故函数的零点是1和3;(4)令f(x)=1𝑥−4x=0,即1-4𝑥2𝑥=0,解得x=±12,故函数零点是12和−12;(5)函数定义域为{x|x3},令f(x)=𝑥2-4𝑥𝑥-3=0,解得x=4或x=0,但x=0不在定义域中,故f(x)只有一个零点4.题型一题型二题型三题型四题型五反思本例中的(5)容易得到函数零点是0和4的错解,原因是忽视了函数的定义域.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】(1)若f(x)=1𝑥+𝑚的零点是-2,则m=;(2)若函数f(x)=x2-x+m没有零点,则实数m的取值范围是;(3)函数f(x)=(x-2)·𝑥-9的零点是.题型一题型二题型三题型四题型五解析:(1)由已知得f(-2)=0,即−12+𝑚=0,故m=12.(2)由已知得x2-x+m=0没有实数根,故Δ=1-4m0,解得m14;(3)令f(x)=0,解得x=2或x=9,但x=2不在函数定义域中,故f(x)只有零点9.答案:(1)12(2)m14(3)9