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2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象1.理解一次函数的概念,掌握一次函数的性质与图象.2.学会运用一次函数的图象理解和研究函数的性质及解决一些简单的应用题.121.一次函数的定义函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫做线性函数;它的定义域为R,值域为R.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,以后简写为直线y=kx+b,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距.【做一做1-1】下列函数中,是一次函数的是()A.y=x2+1B.y=|x|C.y=kx+3D.y=2x+6答案:D【做一做1-2】直线y=-3x+5的斜率等于()A.3B.-3C.5D.-5答案:B122.一次函数的性质(1)函数值的改变量Δy=y2-y1与自变量的改变量Δx=x2-x1的比值等于常数k.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度.(2)当k0时,一次函数是增函数;当k0时,一次函数是减函数.(3)当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数.(4)直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为-𝑏𝑘,0,与y轴的交点为(0,b).名师点拨直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为-𝑏𝑘,0,与y轴的交点为(0,b),其中−𝑏𝑘,b分别称为直线y=kx+b(k≠0)的横截距、纵截距,尤其要注意:−𝑏𝑘∈R,b∈R,千万不要把它们理解成距离.12名师点拨直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为-𝑏𝑘,0,与y轴的交点为(0,b),其中−𝑏𝑘,b分别称为直线y=kx+b(k≠0)的横截距、纵截距,尤其要注意:−𝑏𝑘∈R,b∈R,千万不要把它们理解成距离.【做一做2-1】一次函数y=kx-k,若y随x的增大而增大,则它的图象过()A.第一、第二、第三象限B.第一、第三、第四象限C.第一、第二、第四象限D.第二、第三、第四象限解析:由题意知k0,所以-k0,故y=kx-k的图象过第一、第三、第四象限.答案:B1212【做一做2-2】函数的解析式为x-2y+7=0,则其对应直线的斜率与在y轴上的截距分别为()A.12,72B.1,-7C.1,72D.−12,72解析:因为x-2y+7=0,所以y=12𝑥+72.所以斜率k=12,纵截距b=72.故选A.答案:A一、解读y=kx+b(k≠0)与y=b的区别与联系剖析:y=kx+b(k≠0)是一次函数,y=b是常数函数,其图象都是一条直线.下面从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性五个方面来分析二者的区别与联系.(1)解析式:常数函数y=b可以看作y=kx+b当k=0时的情况,y=b的解析式的特点是没出现自变量x.(2)定义域:y=kx+b(k≠0)的定义域为R;对于y=b,解析式中没有出现x,说明解析式对x没有要求,x可以取任意实数,即定义域也为R.(3)值域:y=kx+b(k≠0)的值域为R;对于y=b,常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值,都对应同一个函数值b,因此,值域为{b}.(4)单调性:对于y=kx+b(k≠0),当k0时为增函数,当k0时为减函数;对于y=b,因为函数值是固定的常数b,没有增减变化,函数图象是一条水平的直线,所以常数函数在定义域上不是单调函数.(5)奇偶性:对于y=kx+b(k≠0),当b=0时为奇函数,当b≠0时为非奇非偶函数;而对于y=b,当b≠0时为偶函数,当b=0时既是奇函数又是偶函数.名师点拨通过上面的分析,可知y=b是函数,而式子x=a(a是一个固定的常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x对应无穷多个y,不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来.二、教材中的“探索与研究”设一次函数y=5x-3,取一系列的x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应的y值,这一系列的函数值之间有什么关系?对任意一个一次函数都有类似的性质吗?剖析:根据函数y=5x-3的解析式列表如下:由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,则y2=5(a+2)-3,所以Δy=y2-y1=10.一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,故Δy=y2-y1=2k(常数).x…-20246…y…-13-371727…Δy…101010题型一题型二题型三题型四题型一一次函数的概念和性质【例1】已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时,(1)这个函数为正比例函数;(2)这个函数为一次函数;(3)函数值y随x的增大而减小;(4)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上.分析:根据正比例函数和一次函数的定义可知第(1)(2)小题容易求解;第(3)小题函数值y随着x的增大而减小,即直线的斜率小于0;第(4)小题根据两条直线与x轴交于同一点,可求出m的值.题型一题型二题型三题型四解:(1)由题意,得1-3𝑚=0,2𝑚-1≠0,即𝑚=13,𝑚≠12,故m=13.(2)函数为一次函数,当且仅当2m-1≠0,即m≠12,且m∈R.(3)由题意,得2m-10,即m12.题型一题型二题型三题型四(4)直线y=x+1与x轴的交点为(-1,0).∵函数y=(2m-1)x+1-3m与直线y=x+1交x轴于同一点,∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.∴m=25.题型一题型二题型三题型四A.是增函数B.是减函数C.没有单调性D.无法判断单调性解析:因为f(x)是一次函数,解得t=-1或t=2(舍去).故f(x)=-3x+10.因为-30,所以f(x)是减函数.答案:B【变式训练1】若函数f(x)=(t-2)𝑥𝑡2-𝑡-1+10是一次函数,则其()所以𝑡-2≠0,𝑡2-𝑡-1=1,题型一题型二题型三题型四题型二一次函数的图象【例2】(1)若函数y=(2m-3)x+(3n+1)的图象经过第一、第二、第三象限,求m,n的取值范围;(2)若一次函数f(x)=(3-2m)x+(m-4)的图象如图所示,求m的取值范围.分析:根据函数的单调性及截距列关系式求解.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为函数y=(2m-3)x+(3n+1)的图象经过第一、二、三象限,所以2𝑚-30,3𝑛+10,解得𝑚32,𝑛-13.即m,n的取值范围是m32,n−13.(2)由题图可知3-2𝑚0,𝑚-40,解得32𝑚4,即m的取值范围是32𝑚4.题型一题型二题型三题型四反思一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此k的取值确定了直线的方向,b的取值确定了直线在y轴上的截距;同时,直线的特征也确定了k,b的取值,总之要达到“数”与“形”的统一,做到“数中含形,形中蕴数”.在一次函数中,k与b的取值与相应直线的位置见下表:题型一题型二题型三题型四一次函数y=kx+b(k≠0)图象经过象限k0,b=0第一、三象限k0,b=0第二、四象限k0,b0第一、二、三象限题型一题型二题型三题型四一次函数y=kx+b(k≠0)图象经过象限k0,b0第一、三、四象限k0,b0第一、二、四象限k0,b0第二、三、四象限题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如果ab0,bc0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大致形状是()解析:函数可化为y=−𝑎𝑏𝑥−𝑐𝑏.因为ab0,bc0,所以𝑎𝑏0,𝑐𝑏0.所以−𝑎𝑏0,−𝑐𝑏0.故斜率k0,截距b0,应为A.答案:A题型一题型二题型三题型四题型三一次函数的实际应用【例3】小东从A地出发以某一速度向B地走去,同时小明从B地出发以另一速度向A地而行.如图所示,图中的两条线段分别表示小东、小明离B地的距离y(单位:km)与所用时间x(单位:h)的关系.(1)试用文字说明交点P所表示的实际意义;(2)试求出A,B两地之间的距离.分析:(1)交点P是两条直线的交点,结合实际可知,小东与小明经过2.5h后在距离B地7.5km处相遇;(2)求出小东离B地的距离与所用时间的关系,令x=0即可得解.题型一题型二题型三题型四解:(1)交点P所表示的实际意义:经过2.5h后,小东与小明在距离B地7.5km处相遇.(2)设小东离B地的距离y1与所用时间x之间的关系式为y1=kx+b(k≠0),又y1经过点P(2.5,7.5),点(4,0),即y1=-5x+20.当x=0时,y1=20.故A,B两地之间的距离为20km.反思本题综合考查了一次函数的知识,结合图象是解决问题的关键,同时应注意函数的实际含义.故2.5𝑘+𝑏=7.5,4𝑘+𝑏=0,解得𝑏=20,𝑘=-5,题型一题型二题型三题型四【变式训练3】弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系为一次函数,由图可知不挂物体时弹簧的长度为()A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm题型一题型二题型三题型四解析:设y=kx+b(k≠0),则由图象可得5𝑘+𝑏=12.5,20𝑘+𝑏=20,解得𝑘=12,𝑏=10,即y=12𝑥+10.当不挂物体时x=0,此时y=10.答案:D题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:对一次函数的概念理解不深致错【例4】已知一次函数y=(m-2)x+m2-3m-2,它的图象在y轴上的截距为-4,则m的值为()A.-4B.2C.1D.2或1错解:因为函数在y轴上的截距为-4,所以m2-3m-2=-4,即m2-3m+2=0.解得m=2或m=1,故选D.错因分析:错解中只考虑了图象在y轴上的截距,没有注意到函数是一次函数,还必须满足m-2≠0.题型一题型二题型三题型四正解:由题意得𝑚2-3𝑚-2=-4,𝑚-2≠0,即𝑚2-3𝑚+2=0,𝑚≠2,解得m=1.故选C.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】若函数y=(m-2)𝑥𝑚2-2𝑚+1+𝑚为一次函数,则此函数为()A.增函数B.减函数C.在(-∞,0]为增函数,在[0,+∞)为减函数D.以上都不对解析:由𝑚2-2𝑚+1=1,𝑚-2≠0,解得m=0.故y=-2x在定义域内为减函数.答案:B1234561若函数y=(m2-1)x+4m是一次函数,则m的取值范围是()A.m≠1B.m≠-1C.m≠±1D.m≠0解析:由已知得m2-1≠0,即m≠±1.答案:C1234562若一次函数f(x)=(m+2)x+3m-1的斜率为1,则其在y轴上的截距等于()A.3B.-1C.4D.-4解析:由已知得m+2=1,故m=-1,故其在y轴上的截距为3m-1=-4.答案:D1234563点A(a+b,ab)在第一象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为点(a+b,ab)在第一象限内,所以a+b0,ab0.所以a0,b0.所以直线经过第一、二、四象限.答案:C又因为bx+ay-ab=0可等价转化为y=−𝑏𝑎𝑥+𝑏,所以斜率−𝑏𝑎0,纵截距b0.1234564甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,小王根据图象得到如下四条信息,其中错误的是()A.这是一次1500m长的赛跑B.甲、乙两人中先到达终点的是乙C.甲、乙同时起跑D.甲在这次赛跑中的平均速度为5m/s答案:C1234565一次函数的图象过点(2,0)和点(-2,1),则此函数的解析式为.解析:设函数解析式为y=kx+b(k≠0),将点(2,0)和(-2,1)代入解析式,得0=2𝑘+𝑏,1=-2𝑘+𝑏,解得𝑘=-14,𝑏=12.故函数解析式为y=−14𝑥+12.答案:y=−14𝑥+121234566已知直线y=k