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2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学)1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.1231.奇、偶函数的概念名称定义奇函数设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数偶函数设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.123A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案:C【做一做1-2】下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是()A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)答案:D【做一做1-1】函数f(x)=1𝑥,x∈(-1,0)∪(0,1]的奇偶性是()123解析:①③满足奇函数的定义,②满足偶函数的定义.答案:①③②【做一做1-3】给出下列函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=1𝑥;④f(x)=|x+1|;⑤f(x)=x2+x;⑥f(x)=𝑥.其中是奇函数的有__________,是偶函数的有__________.(填序号)1232.奇函数、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.123【做一做2-1】函数f(x)=1𝑥−𝑥的图象关于()对称.A.y轴B.直线y=-xC.坐标原点D.直线y=x解析:因为f(x)=1𝑥−𝑥是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.答案:C【做一做2-2】函数f(x)是偶函数,则其图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称答案:C1233.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给自变量x赋值;(2)给出计算法则,求对应的y值;(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图象.注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.一、解读函数的奇偶性剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-∞,+∞)内是奇函数,但在[-2,3]上不具有奇偶性.(3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,f(x)是非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,x∈A,若定义域A关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要注意,反之结论是不一定成立的.(5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|).知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0ab)上有相同的最大(小)值.二、判断函数奇偶性的几种方法剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法.(1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为:①求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数f(x)=x4+1,x∈[-1,2],因为它的定义域不关于原点对称,当1x≤2时,f(-x)没有定义,所以它不符合奇函数、偶函数的定义,故f(x)=x4+1,x∈[-1,2]是非奇非偶函数.②若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它们的定义域都是R,因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x≠f(x)(或-f(x)),所以它是非奇非偶函数.同理可证g(x)=x3+1也是非奇非偶函数.③得出结论.名师点拨1.定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数又是偶函数.例如,f(x)=0,x∈R;f(x)=0,x∈[-2,2];f(x)=0,x∈(-1,1)等.注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.2.分段函数奇偶性的判断关键是搞清x与-x的所在范围及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域.3.判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(-x)±f(x)=0或𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)=±1(f(x)≠0)来代替.(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.(3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域)特别地,F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.题型一题型二题型三题型四题型五题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由.(1)f(x)=x3+2x;(2)f(x)=x2-|x|+1;(3)f(x)=(x+4)2;(4)f(x)=|x-3|-|x+3|;分析:用定义判断函数的奇偶性时,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断函数的奇偶性.(5)f(x)=𝑥3(𝑥-1)𝑥-1;(6)f(x)=𝑥2-16+16-𝑥2.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x+4)2=(x-4)2≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)是非奇非偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五(4)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(5)因为函数的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.于是x2=16,即x=±4.故函数定义域为{4,-4},关于原点对称.又因为当x∈{4,-4}时,f(x)=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x).所以函数f(x)既是奇函数,也是偶函数.(6)要使函数有意义,应有𝑥2-16≥0,16-𝑥2≥0,题型一题型二题型三题型四题型五反思判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在x≠1时,虽有f(x)=𝑥3(𝑥-1)𝑥-1=𝑥3,但它并不是奇函数.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=x+3;(2)f(x)=|x|-2;(3)f(x)=1𝑥3;(4)f(x)=𝑥-6+6-𝑥.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)函数定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=-x+3≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以函数是非奇非偶函数;(2)函数定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所以函数是偶函数;(3)函数定义域为{x|x≠0},关于原点对称.因为f(-x)=1(-𝑥)3=−1𝑥3=−𝑓(x),所以函数f(x)是奇函数;(4)要使函数有意义,应有6-𝑥≥0,𝑥-6≥0,故x=6,即定义域为{6},不关于原点对称,因此,函数是非奇非偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五题型二奇函数、偶函数图象的应用【例2】(1)如图给出偶函数y=f(x)的局部图象,则f(1)+f(-2)的值是.(2)若奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧的图象如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.分析:根据奇函数、偶函数图象的对称性解题.题型一题型二题型三题型四题型五(2)奇函数f(x)在[-5,5]上的图象如图所示,由图象可知,当x∈(2,5)时,f(x)0;当x∈(0,2)时,f(x)0;当x∈(-5,-2)时,f(x)0;当x∈(-2,0)时,f(x)0;因此,使f(x)0的x的取值集合为{x|-2x0或2x5}.答案:(1)2(2){x|-2x0或2x5}解析:(1)由图象可知f(1)=12.又因为f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,所以f(-2)=f(2)=32,故f(1)+f(-2)=12+32=2.题型一题型二题型三题型四题型五反思函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,则下列各点中在f(x)图象上的是()A.(1,4)B.(-4,1)C.(-1,-4)D.(-1,4)解析:点(1,-4)关于原点对称的点是(-1,4)也在函数图象上.答案:D题型一题型二题型三题型四题型五题型三函数奇偶性的应用【例3】已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,且当x∈[0,5]时,f(x)=12𝑥3-x2,求f(-1)的值.分析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.解:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1).又因为当x∈[0,5]时f(x)=12𝑥3-x2,所以f(1)=12×13-12=−12.故f(-1)=-f(1)=−-12=12.反思充分利用奇函数的性质,无需求出当x∈[-5,0]时f(x)的解析式