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2.1.3函数的单调性1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.121.函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x10,则当Δy=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.①12当Δy=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.②如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).12名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.2.函数单调区间的写法(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.123.函数单调性定义的逆用(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2;(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2.解析:对于反比例函数(k≠0),当k0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.答案:D12【做一做1-1】关于函数y=2𝑥的单调性的表述正确的是()y=𝑘𝑥A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数C.在[0,+∞)内是减函数D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数12【做一做1-2】函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)f(5)B.f(3)≤f(5)C.f(3)f(5)D.f(3)≥f(5)解析:因为函数f(x)在R上是减函数,35,所以f(3)f(5).答案:C【做一做1-3】若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是,单调递减区间是.答案:[-3,1](-4,-3)和(1,4]122.判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x10;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正、负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).12【做一做2】证明函数f(x)=2016𝑥+1在(-1,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且x1x2,则Δx=x2-x10,Δy=f(x2)-f(x1)=2016𝑥2+1−2016𝑥1+1=2016(𝑥1-𝑥2)(𝑥2+1)(𝑥1+1).∵-1x1x2,∴x1+10,x2+10,x1-x20,∴Δy0.∴f(x)=2016𝑥+1在(-1,+∞)上是减函数.一、正确理解单调性的定义剖析:(1)第一关键——“定义域内”.研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.(2)第二关键——“某个区间”.增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,例如函数y=1,𝑥为有理数,0,𝑥为无理数,它的定义域为R,不具有单调性.(3)别忽视“任意”和“都有”.在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1x2,f(x1)就必须都小于f(x2),或f(x1)就必须都大于f(x2).对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数y=x2,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是减函数,那就错了.同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)f(x2).从上例我们可以看到对于x1x2,f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2),因此就不能说y=x2在[-2,2]上是增函数或减函数.对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2()0,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.二、关于函数单调性的判断剖析:(1)常见函数的单调性①一次函数y=kx+b,当k0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k0时,在(-∞,+∞)内是减函数;②反比例函数k0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.(2)判断函数单调性的常用方法①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值——作差——变形——判断符号——下结论”的步骤进行;②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.y=𝑘𝑥,当(3)关于函数单调性的常用结论①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;②函数y=f(x)+c(c为常数)与y=f(x)的单调性相同;③函数y=cf(x),当c0时,与y=f(x)的单调性相同;当c0时,与函数y=f(x)的单调性相反;④若f(x)在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.则在区间D上y=1𝑓(𝑥)的单调性与y=f(x)相反;⑤若f(x)≥0,则y=𝑓(𝑥)的单调性与y=f(x)相同;(4)复合函数单调性的判断对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增三、教材中的“探索与研究”研究一个函数在某区间上是增函数还是减函数时,你能否根据函数的平均变化率即比值Δ𝑦Δ𝑥的符号来判断函数y=f(x)在某区间上是增函数还是减函数?比值Δ𝑦Δ𝑥的大小与函数值增长的快慢有什么关系?剖析:(1)用比值Δ𝑦Δ𝑥的符号可以判断函数y=f(x)在某区间上的单调性.函数y=f(x)在x1与x2之间的平均变化率记为Δ𝑦Δ𝑥=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.①若Δ𝑦Δ𝑥0,则有Δ𝑦0,Δ𝑥0或Δ𝑦0,Δ𝑥0.当Δx0,Δy0时,符合增函数的定义;当Δx0,Δy0时,说明函数值随自变量的减小而减小,也就是函数值随自变量的增大而增大,同样符合增函数的定义.②若Δ𝑦Δ𝑥0,则有Δ𝑦0,Δ𝑥0或Δ𝑦0,Δ𝑥0.当Δx0,Δy0时,符合减函数的定义;当Δx0,Δy0时,说明函数值随自变量的减小而增大,也就是说函数值随自变量的增大而减小,同样符合减函数的定义.综合①②可知,由比值Δ𝑦Δ𝑥的符号可以判断函数y=f(x)在某区间上是增函数还是减函数.若Δ𝑦Δ𝑥0,则y=f(x)在某区间上是增函数;若Δ𝑦Δ𝑥0,则y=f(x)在某区间上是减函数.(2)比值Δ𝑦Δ𝑥的大小与函数值增长的快慢有关.对于比值Δ𝑦Δ𝑥,假设Δx均匀变化.①若Δ𝑦Δ𝑥大,则Δy大,即Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)大,说明自变量从x1变化到x2时,对应的函数值f(x1)与f(x2)的差大,也就是函数y=f(x)增长得快,如图所示.②若Δ𝑦Δ𝑥小,则Δy小,即Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)小,说明自变量从x1变化到x2时,对应的函数值f(x1)与f(x2)的差小,也就是函数y=f(x)增长得慢,如图所示.题型一题型二题型三题型四题型一利用单调性的定义判断或证明函数的单调性【例1】(1)证明函数f(x)=3𝑥𝑥+2在(-2,+∞)上是增函数;(2)证明函数f(x)=−𝑥在定义域上是减函数.分析:本题主要考查证明函数的单调性.解题的关键是对Δy进行合理的变形,尽量变为几个最简单因式的乘积形式.题型一题型二题型三题型四证明:(1)设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且x1x2,则Δx=x2-x10,Δy=f(x2)-f(x1)=3𝑥2𝑥2+2−3𝑥1𝑥1+2=6(𝑥2-𝑥1)(𝑥1+2)(𝑥2+2)=6·Δ𝑥(𝑥1+2)(𝑥2+2).因为x1-2,x2-2,所以(x1+2)0,(x2+2)0.又因为Δx0,所以Δy0.故f(x)在(-2,+∞)上是增函数.题型一题型二题型三题型四(2)易知f(x)=−𝑥的定义域为[0,+∞).设x1,x2是[0,+∞)内的任意两个不相等的实数,且x1x2,则Δx=x2-x10,Δy=f(x2)-f(x1)=−𝑥2−(−𝑥1)=𝑥1−𝑥2=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+𝑥2)𝑥1+𝑥2=𝑥1-𝑥2𝑥1+𝑥2.因为x1-x2=-Δx0,𝑥1+𝑥20,所以Δy0.所以f(x)=−𝑥在[0,+∞)上是减函数.题型一题型二题型三题型四2.在本例(2)的证明中,使用了“分子有理化”这种证明技巧,一定要注意观察这类题目的结构特点;3.对Δy的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等.反思1.在本例(2)中,有的同学认为由0≤x1x2即可得0≤𝑥1𝑥2.其实这种证明方法不正确,因为我们没有这样的性质依据.另外,这种证明本身就利用了函数y=𝑥的单调性,而y=𝑥的单调性在证明之前不能使用;题型一题型二题型三题型四【变式训练1】证明函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.证明:设x1,x2是(-∞,-2]上的任意两个不相等的实数,且x1x2,则Δx=x2-x10.=(x1-x2)(x1+x2+4).因为x1-2,x2-2,所以x1+x2-4,x1+x2+40.又因为x1-x20,所以Δy=(x1-x2)(x1+x2+4)0.故函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是