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2.1.2函数的表示方法1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.2.掌握求函数解析式的一般方法.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1231.函数的表示方法表示方法定义举例列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法笔记本数x/个12345钱数y/元510152025123续表表示方法定义举例图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法解析法(公式法)如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)y=5x,x∈{1,2,3,4,5}123归纳总结函数的三种表示方法的优缺点如下表:表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大123表示方法优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来123【做一做1-1】如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.答案:D123【做一做1-2】某教师将其一周中每天的课时数列表如下:在这个函数中,定义域为,值域为.答案:{1,2,3,4,5}{1,2,3,4,5}x/星期12345y/节245311232.用集合语言对函数的图象进行描述对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.123【做一做2】作出函数y=1𝑥(x0)的图象.x1212y2112解:此图象是反比例函数y=1𝑥在第一象限的部分,可按列表、描点、连线的步骤完成.图象如图所示.1233.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.【做一做3-1】函数f(x)=𝑥-1,𝑥0,0,𝑥=0,𝑥+1,𝑥0,则𝑓𝑓12的值是()A.12B.−12C.32D.−32答案:A123【做一做3-2】已知f(x)=[2014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2016.5)的值为()A.-2.5B.2.5C.-2D.-3解析:根据题意,可知f(2016.5)=[2014-2016.5]=[-2.5]=-3.答案:D一、不是所有的图形都是函数的图象剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).(2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.如图所示,在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.二、对分段函数的理解剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,(3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.y=1,-2≤𝑥≤0,𝑥,0𝑥≤3,其“段”是不等长的.例如,函数y=22-6𝑥,0𝑥11,-44,𝑥≥11不能写成y=22-6x,0x11或y=-44,x≥11.(4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.(5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.(7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为y=𝑥+1,𝑥≥-1,-𝑥-1,𝑥-1.三、分段函数图象的画法步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;(2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;剖析:以画函数y=(𝑥+1)2,𝑥≤0,-𝑥,𝑥0的图象为例:y=𝑓1(𝑥),𝑥∈𝐷1,𝑓2(𝑥),𝑥∈𝐷2,…(D1,D2,…两两交集是空集)(3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.由此可得,画分段函数的图象的步骤是:(1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去;(2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去;(3)依次画下去;(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.四、教材中的“思考与讨论”如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.题型一题型二题型三题型四题型一画函数图象【例1】作出下列各函数的图象:(1)y=-x+1,x∈Z;(2)y=2x2-4x-3,0≤x3;(3)y=|1-x|;分析:作函数图象,要明确函数的定义域,体会定义域对图象的影响.处理好端点,如第(4)小题x=0时的情况.作图时,可先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.如第(2)小题.函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.(4)y=𝑥2,0≤𝑥≤1,𝑥+1,-1≤𝑥0.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图①所示.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,0≤x3,定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图②所示.(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数(4)这个函数的图象由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x0时,为直线y=x+1的一段.图象如图④所示.y=𝑥-1,𝑥≥1,1-𝑥,𝑥1.图象如图③所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.(1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;(2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】作出下列各函数的图象:(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0);(3)y=|x-5|+|x+3|.(2)y=1𝑥,0𝑥1,1,𝑥≥1;题型一题型二题型三题型四解:(1)因为函数定义域为{x|-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0},所以函数图象为图①中直线y=x上孤立的点.①题型一题型二题型三题型四(2)该函数中,y=1𝑥(0x1)的图象为函数y=1𝑥在(0,1)上的部分,y=1(x≥1)表示平行于x轴的一条射线,图象如图②所示.②题型一题型二题型三题型四(3)因为y=|x-5|+|x+3|=-2𝑥+2,𝑥≤-3,8,-3𝑥5,2𝑥-2,𝑥≥5,所以函数图象如图③所示.③题型一题型二题型三题型四题型二求函数的解析式【例2】已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).分析:先设出f(x)=ax+b(a≠0),再根据条件列出方程组,进而求得a,b的值,最后写出解析式即可.解:设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.故f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.反思本题以f(x)为一次函数作为切入点,运用待定系数法,建立所设参数的方程组解决问题.已知函数的类型求函数解析式时,待定系数法是一种常用的解题方法.由已知,得𝑎2=9,𝑎𝑏+𝑏=4,解得𝑎=3,𝑏=1或𝑎=-3,𝑏=-2.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】若函数g(x)是一次函数,且满足g(2x)+4g(x-2)=18x-29,则g(x)=.解析:依题意,设g(x)=ax+b(a≠0),则有2ax+b+4[a(x-2)+b]=18x-29,即6ax+5b-8a=18x-29,答案:3x-1故6𝑎=18,5𝑏-8𝑎=-29,解得𝑎=3,𝑏=-1.故g(x)=3x-1.题型一题型二题型三题型四【例3】已知函数f(x)满足2f(x)+𝑓1𝑥=3x,x∈R,且x≠0,试求f(x)的解析式.分析:用1𝑥替换已知等式中的x,从而构造关于f(x)与𝑓1𝑥的方程组,通过解方程组求出f(x).解:由2f(x)+𝑓1𝑥=3x,①将上式中的x用1𝑥替换,得2𝑓1𝑥+𝑓(x)=3𝑥,②由①②消去𝑓1𝑥,得f(x)=2x−1𝑥(x∈R,且x≠0).反思上述用解方程组求函数解析式的方法常用于给出函数的一个方程式这种类型,但要注意自变量x需满足一定的对称性,常见的替换有用“-x”替换“x”,用“1𝑥”替换“x”.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=x+1,求f(x)的解析式.解:因为f(x)+2f(-x)=x+1,以-x替换x,得f(-x)+2f(x)=-x+1,所以由以上两式可解得f(x)=-x+13.题型一题型二题型三题型四题型三分段函数的应用【例4】已知函数f(x)=𝑥2+2,𝑥≤2,2𝑥,𝑥2.(1)求f(f(-2));(2)若f(m)=18,求m的值.分析:对于(1),应先求f(-2),再求f(f(-2));对于(2),要对m与2的大小进行讨论.解:(1)因为f(-2)=(-2)2+2=6,所以f(f(-2))=f(6)=2×6=12.(2)当m≤2时,f(m)=m2+2=18,即m2=16.又因为m≤2,所以m=-4;当m2时,f(m)=2m=18,解得m=9.综上可知,m的值为-4或9.题型一题型二题型三题型四反思1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足