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第2课时补集1.在具体情境中,了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.重视补集思想在解题中的应用.121.全集与补集如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作∁UA,读作“A在U中的补集”.12归纳总结1.补集的符号语言为:∁UA={x|x∈U,且x∉A};2.补集的维恩(Venn)图表示如图所示;3.全集具有相对性,即研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集.补集是相对于全集而言的,由于全集具有相对性,那么补集也具有相对性,在不同的全集下,一个集合的补集可能不相同.4.设U是全集,A是U的一个子集,那么对于U中的任何一个元素x,要么x∈A,要么x∈∁UA.12【做一做1-1】若集合U={1,2,3,4,5},A={2,4,5},则∁UA等于()A.{2,4,5}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4,5}答案:B12【做一做1-2】已知全集U=R,若集合M={x|-1≤x≤3},则∁UM等于()A.{x|-1x3}B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x-1或x3}D.{x|x≤-1或x≥3}解析:集合M的数轴表示如图所示,由补集的定义,并结合数轴解题.因为M={x|-1≤x≤3},所以∁UM={x|x-1或x3}.答案:C122.补集的性质对于任意集合A,有A∪∁UA=U,A∩∁UA=⌀,∁U(∁UA)=A,∁UU=⌀,∁U⌀=U.【做一做2-1】已知全集U={x∈Z|-2017x2017},A={0},则∁U(∁UA)=.解析:根据补集的性质∁U(∁UA)=A,可知∁U(∁UA)={0}.答案:{0}12【做一做2-2】有下列叙述:①∁UA={x|x∉A};②∁U⌀=U;③A∪∁UA=⌀;④若U={1,2,3},A={2,3,4},则∁UA={1}.其中正确的序号是.解析:①应为∁UA={x|x∈U,且x∉A};②正确;③应为A∪∁UA=U;④因为A⊈U,所以∁UA无意义.答案:②一、子集A在全集U中的补集的求法剖析:从全集U中去掉所有属于A的元素,剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.例如,已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},求∁UA.该题中显然A⊆U,从U中除去子集A的元素b,f,剩下的元素a,c,d,e组成的集合为∁UA,即∁UA={a,c,d,e}.另外,若所给集合是无限集,在实数范围内求其补集,我们可以充分利用数轴的直观性来求解.例如,已知U=R,A={x|x3},求∁UA.用数轴表示可知∁UA={x|x≤3},如图中阴影部分.在求补集时,还要特别注意看A是否满足A⊆U,再者需看清楚全集的范围.例如,若U={x|x0},A={x|x3},则∁UA={x|0x≤3}.二、用维恩(Venn)图来解释∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB与∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB剖析:(1)用维恩(Venn)图表示∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB:(2)用维恩(Venn)图表示∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB:归纳总结借助维恩(Venn)图分析集合的运算问题,能使问题简捷地得以解决,能将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.题型一题型二题型三题型四题型一集合的补集运算【例1】(1)已知全集U={三角形},集合A={直角三角形},求∁UA;(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={2,4,5},B={1,4,5},求∁UA,∁UA∪∁UB;(3)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2≤x≤3},B={x|-3≤x≤2},求A∩∁UB,∁UA∪B,∁UA∪∁UB.分析:这是一类涉及集合补集关系的运算,解题的关键是先明确全集,根据补集的定义求出集合的补集,再根据交集、并集的定义进行运算.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为U={三角形},A={直角三角形},所以∁UA={锐角三角形或钝角三角形}.(2)因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={2,4,5},所以∁UA={1,3,6,7,8,9}.又因为B={1,4,5},所以∁UB={2,3,6,7,8,9}.所以∁UA∪∁UB={1,2,3,6,7,8,9}.(3)首先在数轴上表示出全集U和集合A,B(如图所示),则∁UA={x|x-2或3x≤4},∁UB={x|x-3或2x≤4},所以A∩∁UB={x|2x≤3},∁UA∪B={x|x≤2或3x≤4},∁UA∪∁UB=∁U(A∩B)={x|x-2或2x≤4}.题型一题型二题型三题型四反思利用数轴求无限集合在给定集合中的补集时,务必注意端点的“实”与“虚”,原集合中包含该端点时,在数轴上应画成实心点,此时其补集中就不能含有该端点了.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)已知全集U={整数},集合M={偶数},求∁UM;(2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A满足∁UA={0,1,3,5},求A;(3)已知全集U=R,集合A={x|x≥4},B={x|-2x3},求A∩∁UB,∁UA∪B.解:(1)依题意可得∁UM={奇数};(2)因为∁UA={0,1,3,5},所以A={2,4,6};(3)由已知得∁UB={x|x≤-2或x≥3},所以A∩∁UB={x|x≥4}.又因为∁UA={x|x4},所以∁UA∪B={x|x4}.题型一题型二题型三题型四题型二补集运算中的含参数问题【例2】设全集U={2,3,a2+2a-3},集合A={|a+1|,2},∁UA={5},求a的值.分析:由条件∁UA={5},得5∈U,注意验证结果是否满足题意.解:由∁UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足条件∁UA={5};当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足条件∁UA={5}.所以a的值为-4或2.反思通过本题的解决,我们必须认识到找准解决问题的切入点是解题的关键,此题5∈U就是切入点,另外还要注意对A⊆U及∁UA={5}的检验.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知集合A={x|xa},B={x|1x5},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是.解析:因为B={x|1x5},所以∁RB={x|x≤1或x≥5}.又A∪∁RB=R,结合数轴分析,可得a≤1.答案:a≤1题型一题型二题型三题型四题型三补集思想的应用【例3】已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.分析:B∪A≠A说明B不是A的子集,方程x2-2x-8=0的解为-2,4,则方程x2+ax+a2-12=0的实数解组成的集合可能出现以下几种情况:①-2是解,4不是解;②4是解,-2不是解;③-2和4都不是解.分别求解十分烦琐,这时我们先由B∪A=A,求出a的取值范围,再利用补集思想求解.题型一题型二题型三题型四解:若B∪A=A,则B⊆A.因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种情况:①当B=⌀时,Δ=a2-4(a2-12)0,即a216,所以a-4或a4.②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A.③当B={-2,4}时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,综上可知,当B∪A=A时,a的取值范围为a-4或a=-2或a≥4.所以满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|-4≤a4,且a≠-2}.所以-𝑎=-2+4,𝑎2-12=-2×4,所以a=-2.题型一题型二题型三题型四反思对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间的关系不明确、难以从正面入手的问题,在解题时,应及时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这样能化难为易,化隐为显,从而解决问题.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知集合P={x|2x3-x2+2ax-3a≥0},若-1∉P,则实数a的取值范围是.解析:若-1∈P,则2×(-1)3-(-1)2+2a×(-1)-3a≥0,即-3-5a≥0,解得a≤−35.故当-1∉P时,实数a的取值范围是a−35.答案:a−35题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:补集求解方法不当致误【例4】已知全集U=R,集合A=𝑥1𝑥-10,B={x|xa},且∁UA⊆B,求实数a的取值范围.错解:因为A=𝑥1𝑥-10,所以∁UA=𝑥1𝑥-1≥0={x|x1}.由图可知,当a1时,∁UA⫋B;当a=1时,∁UA=B;当a1时,∁UA⫌B.所以实数a的取值范围是{a|a≤1}.错因分析:错解中误认为A的补集为使1𝑥-1≥0成立的x的集合,其实A的补集中的元素除了使1𝑥-1≥0成立,还有x=1这个值.题型一题型二题型三题型四所以∁UA={x|x≥1}.由图可知,当a1时,∁UA⫋B;当a≥1时,∁UA⫌B.所以实数a的取值范围是{a|a1}.反思求某一集合的补集,首先应明确这一集合,最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化,这样易出现转化不等价的情况,再就是要充分利用维恩(Venn)图或数轴表示集合来解决问题.正解:因为A=𝑥1𝑥-10={x|x1},题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知全集为R,集合A={x|𝑥-21,x∈R},B={x|xm,x∈R},若B⊆∁RA,则m的取值范围是.解析:由𝑥-21可得2≤x3,即A={x|2≤x3},故∁RA={x|x2或x≥3}.又因为B⊆∁RA,所以m≤2.答案:m≤21234561若集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则∁U(A∪B)等于()A.{2}B.{5}C.{1,2,3,4}D.{1,3,4,5}解析:A∪B={1,2,3,4},则∁U(A∪B)={5}.答案:B1234562已知集合A={x∈R|-2x6},B={x∈R|x2},则A∪∁RB等于()A.{x|x6}B.{x|-2x2}C.{x|x-2}D.{x|2≤x6}解析:由B={x∈R|x2},得∁RB={x|x≥2}.因为A={x∈R|-2x6},所以A∪∁RB={x|x-2}.答案:C1234563若集合A,B都是全集U的子集,给出下列命题:①若A∩B=U,则A=B=U;②若A∪B=⌀,则A=B=⌀;③若A∪B=U,则∁UA∩∁UB=⌀;④若A∩B=⌀,则A=B=⌀;⑤若A∩B=⌀,则∁UA∪∁UB=U;⑥若A∪B=U,则A=B=U.其中不正确命题的个数是()A.0B.2C.4D.6123456解析:①如果集合A,B中有一个为U的真子集,那么A∩B≠U,故A=B=U;②若集合A,B中有一个不为空集,则A∪B≠⌀,故A=B=⌀;③因为∁UA∩∁UB=∁U(A∪B),而A∪B=U,所以∁UA∩∁UB=∁U(A∪B)=⌀;④当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有A∩B=⌀,故不一定有A=B=⌀;⑤因为∁UA∪∁UB=∁U(A∩B),而A∩B=⌀,所以∁UA∪∁UB=∁U(A∩B)=U;⑥A∪B=U时,还有可能是A=⌀,B=U等情况,不一定有A=B=U.因此,不正确的为④⑥.答案:B1234564若集合M={(x,y)|2x+3y5a},且(-1,2)∉M,则实数a的取值范围是.解析:当(-1,2)∈M时,2×(-1)+3×25a,即a45.因此,当(-1,2)∉M时,应满足a≥45.答案:a≥451234565设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.答案:(1)∁U(A∪B)(2)∁UA∩B1234566已知全集