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1.2.2集合的运算第1课时交集与并集1.理解两个集合的交集与并集的概念,明确数学中的“且”“或”的含义,会求两个简单集合的交集与并集.2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.121.交集与并集的概念知识点自然语言描述符号语言表示Venn图表示交集一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合A∩B={x|x∈A,且x∈B}并集一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合A∪B={x|x∈A或x∈B}12名师点拨1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只出现一次.2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.3.不能认为集合A∪B中元素的个数等于集合A与B的元素个数之和.并集作为一个集合,其元素也应满足互异性,A与B中相同的元素只能算作一个.因此A∪B中元素的个数可能等于集合A与B的元素个数之和,也可能少于集合A与B的元素个数之和.12【做一做1-1】若集合P={-1,0,1},Q={-2,4},则P∩Q等于()A.⌀B.{-2,-1,0,1,4}C.{4}D.{0,1}解析:因为集合P和Q没有公共元素,所以集合P与Q的交集为⌀.答案:A【做一做1-2】若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}答案:A12【做一做1-3】若M={x|x2},N={x|x5},则M∩N=,M∪N=.解析:结合数轴分析,可得M∩N={x|2x5},M∪N=R.答案:{x|2x5}R122.交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B=B∩AA∪B=B∪AA∩A=AA∪A=AA∩⌀=⌀∩A=⌀A∪⌀=⌀∪A=AA⊆B⇔A∩B=AA⊆B⇔A∪B=B12【做一做2-1】若集合A,B均为非空集合,且满足A∪B=A∩B,则必有()A.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.以上都错解析:由交集、并集的定义可知当A∪B=A∩B时,必有A=B.答案:C【做一做2-2】设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a=.解析:由A∩B=B,知B⊆A.因为-1∈B,所以-1∈A.又因为A={7,a},所以a=-1.答案:-1一、集合运算中与生活用语中的“且”与“或”的区别和联系剖析:(1)集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B.(2)集合运算中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”,只取其中之一,并不兼存;而集合运算中的“或”是指“或此”与“或彼”与“或此彼”,可兼有.例如,“x∈A,或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x∉B;②x∈B,但x∉A;③x∈A,且x∈B.而生活中:“小张或小李去办公室把作业本搬来”是指:“小张去”或“小李去”,仅其中一个人去.二、教材中的“思考与讨论”1.两个非空集合的交集可能是空集吗?举例说明.剖析:可能.当A与B都非空但无公共元素时,A∩B=⌀.一般地,若A∩B=⌀,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空集合.如,A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}.2.如何用集合语言表示平面内的两条直线平行或重合?剖析:根据交集的定义与平面内两条直线的位置关系的定义,可以用集合语言表示平面内两条直线的平行或重合.若l1∩l2=⌀,则l1与l2平行;若l1∩l2=l1(l2),则l1与l2重合.题型一题型二题型三题型四题型五题型一两个集合的交集运算【例1】求下列各对集合的交集:(1)A={-1,0,1,2,3},B={-2,0,1,3,5};(2)C={x|x≤6},D={x|4x≤9};(3)E={x|x是锐角三角形},F={x|x是直角三角形};(4)P={(x,y)|2x+y=5},Q={(x,y)|x-y=1}.分析:(1)可用直接观察法;(2)借助数轴分析;(3)通过分析特征性质求解;(4)应通过解方程组得到交集.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)由已知得A∩B={0,1,3};(2)结合数轴分析,可得C∩D={x|4x≤6};(3)由已知得E∩F=⌀,因为没有任何一个三角形既是锐角三角形,又是直角三角形;(4)由已知得P∩Q={(x,y)|2x+y=5}∩{(x,y)|x-y=1}=(𝑥,𝑦)2𝑥+𝑦=5𝑥-𝑦=1=(𝑥,𝑦)𝑥=2𝑦=1={(2,1)}.题型一题型二题型三题型四题型五题型二两个集合的并集运算【例2】求下列各对集合的并集:(1)A={x|x2-5x+4=0},B={x∈N|0x5};(2)C={x|-4x8},D={x|-5≤x≤6};(3)E={菱形},F={正方形}.分析:(1)先化简两个集合,再通过观察可得;(2)借助数轴观察分析;(3)由特征性质分析求得.解:(1)由已知得A={x|x2-5x+4=0}={1,4},B={x∈N|0x5}={1,2,3,4},故A∪B={1,2,3,4};(2)结合数轴分析,可得C∪D={x|-5≤x8};(3)由已知得E∪F={菱形}.题型一题型二题型三题型四题型五反思求两个集合的并集时,若用描述法给出集合,则要明确集合中的元素,直接观察写出并集,也可以借助于数轴写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的含义,可直接观察或借助维恩(Venn)图写出并集.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】求下列各对集合的并集:(1)A={-1,0,1,2},B={0,2,4,5,6};(2)C={x|-3x≤5},D={x|2x≤6};(3)E={x|x是矩形},F={x|x是正方形}.解:(1)由已知得A∪B={-1,0,1,2,4,5,6};(2)用数轴表示集合C,D,如图所示,可得C∪D={x|-3x≤5}∪{x|2x≤6}={x|-3x≤6};(3)由已知得E∪F={x|x是矩形}∪{x|x是正方形}={x|x是矩形}.题型一题型二题型三题型四题型五题型三交集、并集运算的简单应用【例3】设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a}.已知A∩B={9},求实数a的值以及A∪B.分析:由A∩B={9}知,9是集合A和B的公共元素且是唯一的公共元素,由此求出实数a的值,确定集合A,B,然后求A∪B,要注意集合中元素的互异性.题型一题型二题型三题型四题型五解:因为A∩B={9},所以9是集合A与B的唯一的公共元素.所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9.若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},于是A∩B={-4,9},与已知矛盾,故a=5不符合题意;若a2=9,则a=±3.当a=3时,A={-4,5,9},B={9,-2,-2},集合B中的元素不满足互异性,故a=3不符合题意;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},A∩B={9},故a=-3符合题意,此时A∪B={-4,-7,9,-8,4}.综上可知,实数a=-3,A∪B={-4,-7,9,-8,4}.题型一题型二题型三题型四题型五反思已知两个集合的交集或并集,求集合中的参数值时,主要依据交集或并集的定义,由交集或并集中的元素入手,通过分类讨论进行求解.但必须要对得到的参数值进行检验,除了按照集合元素的互异性检验,还要按照已知条件中交集的结果进行检验.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】若集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},试问:是否存在实数a,使得A∩B={-4}?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:因为A∩B={-4},所以-4∈B.因此a-5=-4或1-a=-4.当a-5=-4时,a=1,在集合A中,2a-1=2×1-1=1,a2=12=1,不满足集合元素的互异性,故a≠1;当1-a=-4时,a=5,此时,A={-4,9,25},B={9,0,-4},则有A∩B={-4,9},不满足题意,故a≠5.综上可知,不存在实数a,使A∩B={-4}.题型一题型二题型三题型四题型五题型四交集、并集运算性质的应用【例4】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;(2)若A∪B=B,求实数a的值.分析:(1)因为A∩B=B⇔B⊆A,所以集合B可能为⌀,{0},{-4},{0,-4},分类讨论即可;(2)A∪B=B⇔A⊆B,而B中至多有两个元素,故应有A=B,然后利用集合相等求解.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)A={x|x2+4x=0}={0,-4}.因为A∩B=B,所以B⊆A,故集合B可能为⌀,{0},{-4},{0,-4}.①若B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)0,得a-1;②若B={0},则0∈B,将0代入方程,得a2=1,即a=±1.经检验a=-1满足条件;③若B={-4},则-4∈B,将-4代入方程,得a2-8a+7=0,即a=1或a=7.当a=7时,B={-4,-12},当a=1时,B={0,-4},都不符合题意,舍去;④若B={0,-4},则0∈B,且-4∈B,此时a=1.综上①②③④,得a=1或a≤-1.(2)因为A∪B=B,所以A⊆B.又因为A={0,-4},而B中至多有两个元素,所以应有A=B,即B={0,-4},由(1)得a=1.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∪B=B,A∩B=A等这类条件,解答时常借助A∪B=B⇔A⊆B,A∩B=A⇔A⊆B进行转化求解;2.当集合A,B满足A⊆B时,如果集合B是一个确定的集合,而集合A不确定时,要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况,切不可漏解;3.求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时,要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知集合A={1},集合B={x|ax2-x+2=0},若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.解:因为A∩B=⌀,所以B=⌀或B≠⌀,且B中不含有元素1.当B=⌀时,则𝑎≠0,1-8𝑎0,解得a18;当B≠⌀时,a=0或𝑎≠0,1-8𝑎≥0,解得a≤18,此时若1∈B,则a×12-1+2=0,解得a=-1,故当B≠⌀,且不含有元素1时,a应满足a≤18,且a≠-1.综上可知,实数a的取值范围是a≠-1.题型一题型二题型三题型四题型五题型五易错辨析易错点:忽视分类讨论致错【例5】设集合A={x∈R|x2+2x+2-p=0},B={x|x0},且A∩B=⌀,求实数p满足的条件.错解:因为A∩B=⌀,所以A=⌀,所以关于x的方程没有实数根,即Δ=22-4(2-p)0,解得p1.错因分析:当A∩B=⌀时,若B≠⌀,则A=⌀或A≠⌀,且A与B没有公共元素,错解忽视了A与B没有公共元素的情况,导致出现错误.题型一题型二题型三题型四题型五正解:因为A∩B=⌀,且B≠⌀,所以A=⌀或A≠⌀,且A与B没有公共元素.当A=⌀时,方程没有实数根,Δ=22-4(2-p)0,解得p1;当A≠⌀,且A与B没有公共元素时,设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解x1,x2,解得1≤p≤2.综上可知,实数p满足的条件为p1或1≤p≤2,即p≤2.则有𝛥≥0,𝑥1+𝑥2≤0,𝑥1𝑥2≥0,即22-4(2-𝑝)≥0,-20,2-𝑝≥0,题型一题型二题型三题型四题型五反思当A∩B=⌀时,有以下4种情况:①A=⌀,B=⌀;②A≠⌀,B=⌀;③A=⌀,B≠⌀;④A≠⌀,B≠⌀,且A与B没有公共元