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第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.了解集合的含义,会用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系.2.理解集合中元素的特性,重点理解其确定性与互异性.3.熟悉常用数集的符号,尤其要注意空集的含义及表示.123451.集合的有关概念一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),通常用英语大写字母A,B,C,…来表示.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.名师点拨集合是现代数学中不加定义的基本概念,学习这个概念应注意以下两点:(1)集合是一个“整体”;(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的.12345【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是()A.著名的中国数学家B.所有的负数C.清华大学招收的2016级本科生D.某次会议所有的代表解析:因为选项B,C,D中所给的对象都是确定的,所以可以构成集合;而选项A中所给对象不确定,原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名,故不能构成集合.答案:A123452.元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于Aa∈Aa属于A不属于如果a不是集合A的元素,就说a不属于Aa∉Aa不属于A归纳总结元素与集合的联系与区别如下表:区别概念概念上的区别符号上的区别联系元素研究对象小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体大写字母A,B,C,…12345【做一做2】用符号∈和∉填空:(1)若所有正奇数构成的集合为M,则4M,-1M,7M;(2)若所有小于17的实数构成的集合为P,则4P,2+5______P.解析:(1)4和-1都不是正奇数,7是正奇数,因此4∉M,-1∉M,7∈M.(2)因为417,2+517,所以4∈P,2+5∉P.答案:(1)∉∉∈(2)∈∉123453.集合中元素的性质特征(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.名师点拨在处理集合中有关元素的问题时,求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用,要进行代入检验,舍去不符合要求的值.12345【做一做3-1】若a,a,b,b,a2,b2构成集合M,则M中的元素最多有()个.A.6B.5C.4D.3解析:由集合元素的互异性可知,当a,b,a2,b2互不相等时,集合M中的元素最多,即集合M最多有4个元素.答案:C【做一做3-2】方程x2-2x+1=0的解集中有个元素.答案:1124354.集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集:(1)满足2015x2017的整数构成的集合;(2)数轴上所有的实数对应的点构成的集合.解:(1)满足2015x2017的整数仅有2016,故此集合是有限集.(2)数轴上实数对应的点有无穷多个,故此集合是无限集.集合空集:不含有任何元素的集合,记作⌀非空集合有限集:含有有限个元素的集合无限集:含有无限个元素的集合124355.常用数集及表示符号【做一做5】下列关系表示正确的是()A.0∈N+B.π∉RC.1∉QD.0∈Z答案:D名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+或N*ZQR一、集合中元素的特性剖析:确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.无序性:集合中的元素没有顺序,在表示集合时先写哪个元素都可以.二、特殊集合——空集剖析:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作⌀.空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中没有任何元素,故称为空集.例如,由“方程x2+2=0的实数根”构成的集合,因为没有适合该集合的元素,所以它是空集.名师点拨1.空集的本质是其不含有任何元素,它的表现形式是多种多样的.例如,由所有平方等于-1的实数构成的集合;由所有大于-3且小于0的自然数构成的集合;由所有的有两个内角是直角的三角形构成的集合等都是空集.2.不要将实数0或只含一个元素0的集合与空集⌀混为一谈.实数0只能作为元素出现,它不是集合,只含一个元素0的集合不等同于⌀,因为它含有元素.三、教材中的“思考与讨论”1.你能否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由.剖析:不能确定.原因是对高个子同学“高”的程度没有确定的标准,所以无法判定哪些同学符合要求,因此不能构成集合.2.你能否确定,你所在班级中,最高的3位同学构成的集合?剖析:能确定.因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可),将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合.【例1】下列各组对象能构成集合吗?(1)你所在班级的男生;(2)参加2016年第31届夏季奥林匹克运动会的高大运动员;(3)关于x的方程x2+5=0的实数解;(4)所有小的正数;(5)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点.解:(1)(3)(5)可以构成集合;(2)(4)不能构成集合.反思看一组对象能否构成一个集合,只要看这组对象是不是确定的,即任何一个对象,要么在这一组对象中,要么不在这组对象中,而没有第三种情况出现.题型一题型二题型三题型一集合中元素的确定性题型一题型二题型三【变式训练1】给出以下各组对象:①较大的正整数;②北京市所有身高为1.75米的人;③美国NBA的著名球星;④方程x2=4的所有实数解;⑤小于1的正整数.其中能构成集合的对象的组数为()A.2B.3C.4D.5解析:“较大”和“著名”没有确定的标准,所以①和③不能构成集合,②④⑤均可构成集合.答案:B题型一题型二题型三题型二集合中元素的互异性【例2】由元素3,x,x2-2x构成集合M,则x应满足的条件是.答案:x≠3,且x≠0,且x≠-1反思互异性是集合元素的重要性质,在解决集合中有关元素的问题时,一定要注意利用元素的互异性进行验证.解析:由集合中元素的互异性可得出3,x,x2-2x互不相等,由此可求出x应满足的条件.即由𝑥≠3,𝑥2-2𝑥≠3,𝑥2-2𝑥≠𝑥,解得x≠3,且x≠0,且x≠-1.题型一题型二题型三【变式训练2】由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根构成的集合中,元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:方程x2-5x+6=0的根是2和3,方程x2-x-2=0的根是2和-1,因此两个方程的所有实数根构成的集合中含有3个元素2,3,-1.答案:C题型一题型二题型三题型三元素与集合的关系【例3】已知集合P中有三个元素a-3,2a-1,a2+4,且-3∈P,求实数a的值.分析:利用-3是集合P中的元素,可列方程求a的值,最后需验证集合中元素的互异性.解:因为-3∈P,a2+4≥4,所以a-3=-3或2a-1=-3,解得a=0或a=-1.经检验,当a=0时,P中三个元素为-3,-1,4,满足集合中元素的互异性;当a=-1时,P中三个元素为-4,-3,5,也满足集合中元素的互异性.综上可知,a的值为0或-1.反思在根据元素与集合的关系解题时,要注意将求得的参数值代入检验,看是否符合题意及元素的互异性等性质.题型一题型二题型三【变式训练3】在例3所给的集合P中,是否含有元素-5?解:不含有元素-5.理由如下:若-5∈P,由于a2+4≥4,故只能有a-3=-5或2a-1=-5,这时a=-2,但a-3=2a-1=-5,不满足集合中元素的互异性.因此,集合P中不可能含有元素-5.1234561下列各组对象,能构成集合的是()A.平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B.平面内两边之和小于第三边的三角形C.某书店中有意义的小说D.π(π=3.141…)的近似值的全体解析:选项A,C,D中的对象不具有确定性,故不能构成集合;而选项B为⌀,故能构成集合.答案:B123456其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①②正确,③④错误.答案:B2给出下列关系:①12∈R;②2∉Q;③|-3|∉N+;④|−3|∈N.1234563由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2解析:代入验证如下:当a=1时,a2=2-a;当a=-2时,a2=2-a=4;当a=2时,a2=4;故1,-2,2均不能满足集合A中元素的互异性,排除选项A,B,D;当a=6时,a2=36,2-a=-4,符合要求,故选C.答案:C1234564集合A是由点(2017,2016)和点(2016,2017)构成的,则A中有个元素.解析:因为点的坐标是有顺序性的,所以集合A中有2个点,即A中有2个元素.答案:21234565设L(A,B)表示直线AB上所有点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成PL(A,B).答案:∈1234566已知集合A由三个元素a2,a+1,0构成,且1∈A,试求实数a的值.解:因为1∈A,所以a2=1或a+1=1.若a2=1,则a=±1.当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.综上可知,实数a的值为1.