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主题2第Ⅰ部分机械振动4单摆学科素养与目标要求物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法.科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.2.引导学生对摆球进行受力分析，将单摆纳入简谐运动模型.科学探究：1.观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单摆周期的因素.2.会测量当地的重力加速度.NEIRONGSUOYIN内容索引自主预习预习新知夯实基础重点探究启迪思维探究重点达标检测检测评价达标过关课时对点练注重双基强化落实自主预习一、单摆及单摆的回复力1.单摆(1)如果细线的质量与小球相比可以，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.单摆是实际摆的模型.(2)单摆的平衡位置：摆球时所在的位置.2.单摆的回复力(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧_________(填“切线方向”或“法线方向”)的分力提供回复力.忽略理想化静止切线方向图1(2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈xl，所以单摆的回复力为F＝－mglx，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的成正比，方向总是指向，单摆的运动可看成是简谐运动.位移平衡位置二、单摆的周期1.单摆振动的周期与摆球质量(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅(填“有关”或“无关”)，但与摆长(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期(填“越长”“越短”或“不变”).2.单摆的周期公式T＝.无关有关无关越长2πlg三、用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝，得g＝，则测出单摆的和，即可求出当地的重力加速度.2.数据处理(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值.(2)图象法：分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝的图象，图象的斜率k＝，进而求出重力加速度g.摆长l周期T4π2lT22πlgg4π2T2g4π2即学即用1.判断下列说法的正误.(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.()(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.()(3)制作单摆的摆球越大越好.()(4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.()××××2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为_____.2T重点探究一、单摆的回复力导学探究(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？答案回复力不是合外力.单摆的运动可看做变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力.(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？答案单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.知识深化1.单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.2.单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供使摆球振动的回复力.3.回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.注意(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.(2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力.例1图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大解析摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误.图2√二、单摆的周期导学探究单摆的周期公式为T＝.(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？答案不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.2πlg(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？答案可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.知识深化1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.2.单摆的周期公式：T＝.3.对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%).(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.2πlg例2(2018·黄埔区高二检测)某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是A.用大球替代小球，单摆的周期不变B.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大√例3如图3所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)A.让小球在纸面内振动，周期T＝2πlgB.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π3l2gC.让小球在纸面内振动，周期T＝2π3l2gD.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πlg√图3三、实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2πlg，得g＝4π2lT2，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺.3.实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期.(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.d24.数据处理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值.设计如下所示实验表格：4π2lT2实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)123g＝g1＋g2＋g33(2)图象法：由T＝2πlg得T2＝4π2gl，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图象(如图4所示).其斜率k＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g.图45.注意事项(1)选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球.(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t.例4某同学利用如图5所示的装置测量当地的重力加速度.实验步骤如下：A.按装置图安装好实验装置；B.用游标卡尺测量小球的直径d；C.用米尺测量悬线的长度L；D.让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；E.多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；F.计算出每个悬线长度对应的t2；G.以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线.结合上述实验，完成下列问题：图5(1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图6所示，读出小球直径d为______cm.图6解析游标卡尺主尺的示数是1.5cm＝15mm，游标尺示数是2×0.1mm＝0.2mm，小球的直径d＝15mm＋0.2mm＝15.2mm＝1.52cm.1.52(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L图线如图7所示.根据图线拟合得到方程t2＝404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g＝_____m/s2.(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)图7代入π2＝9.86得g≈9.76m/s2.9.76解析根据单摆周期公式T＝2πlg得：t10＝2πlg，又l＝L＋d2，则t2＝400π2lg＝400π2Lg＋200π2dg.由题意知斜率k＝404.0，则400π2g＝404.0，(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________.A.不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时B.开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数C.不应作t2－L图线，而应作t－L图线D.不应作t2－L图线，而应作t2－(L＋)图线解析单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长，故t2－L图象不过原点，在纵轴上截距不为零，故D正确.12d√[学科素养]通过本题，学生回顾了游标卡尺的读数方法，提高了根据实际情况设计实验步骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加速度的本领.在解题过程中，展现了实验探究过程中交流、反思的能力.本题着重体现了“实验探究”的学科素养.达标检测1.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图8所示，以下说法正确的是A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大√123√图82.(单摆的周期公式)(2018·新余一中高二下学期段考)如图9所示，摆长为l的单摆放在倾角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为图9A.T＝2πlgB.T＝2πlgcosθC.T＝2πlgsinθD.以上答案都不对123√3.(用单摆测定重力加速度)(2018·西安中学高二第二学期期中)某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间，如图10所示，则：(1)该摆摆长为______cm，秒表所示读数为_____s.(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是A.测摆线长时摆线拉得过紧B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C.开始计时时，秒表过迟按下D.实验中误将49次全振动记为50次图1098.5075.2√123(3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出对应的l与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成如图11所示直线，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝____(用k表示).图114π2k123课时对点练一、选择题考点一单摆及单摆的回复力1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是A.摆线质量不计B.摆线不可伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就一定是简谐运动解析只有在摆角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动.123456789101112√√√2.关于单摆，下列说法中正确的是A.摆球运动的回复力是它受到的合力B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度为零解析摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错误；由简谐运动特点知B正确