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拓展课运动图像与追及相遇问题运动图像问题[要点归纳]1.x－t图像与v－t图像的比较核心要点比较内容x－t图像v－t图像图像物理意义反映的是位移随时间的变化规律反映的是速度随时间的变化规律①表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动②表示物体静止不动表示物体做正向匀速直线运动③表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动④表示物体做加速直线运动表示物体做加速度逐渐增大的加速运动图像与坐标轴围成的“面积”的意义无实际意义表示相应时间内的位移2.x－t图像的应用（1）根据图像斜率可以求出物体的速度。（2）由图像判断物体运动的方向。（3）根据图像可以求出一段时间内的位移或发生一段位移所用的时间。（4）在同一坐标系中若画出几个物体的位移图像，可比较它们运动的快慢，也可知道它们相遇（两图线的交点）的时刻。3.v－t图像的应用（1）由图像判断物体运动的方向。（2）根据图像的斜率可以求出物体的加速度。（3）根据图像可以求出某一时刻的速度或某段时间内速度的变化量。（4）根据图线与t轴所围图形面积求物体的位移。（5）根据图像可以判断物体的运动性质。（6）在同一坐标系中，若画出几个物体的速度图像，可比较它们速度变化的快慢，也可知道它们速度相等（两图线的交点）的时刻。[试题案例][例1]（多选）质点做直线运动的v－t图像如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内的平均速度及质点运动的总路程为（）A.总路程为2mB.平均速度为0.25m/s，方向向左C.总路程为8mD.平均速度为1m/s，方向向左答案BC解析v－t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，时间轴上方的面积表示的位移为正值，下方的面积表示的位移为负值，由图知，前8s内的总位移x＝3×22m－5×22m＝－2m，平均速度v－＝xt＝－0.25m/s，负号表示方向向左，故选项B正确，D错误；总路程为s＝3×22m＋5×22m＝8m，选项C正确，A错误。方法凝炼运动学图像的“六看”x－t图像v－t图像轴纵轴为位移x纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度面积无实际意义图线与时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度交点表示相遇表示速度相等[针对训练1]（多选）如图是A、B两个质点做直线运动的x－t图像，下列说法正确的是（）A.在运动过程中，A质点总比B质点运动的快B.当t＝t1时，两质点相遇C.当t＝t1时，两质点的速度相等D.当t＝t1时，A、B两质点的加速度都大于零答案AB追及相遇问题[要点归纳]1.追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。2.分析追及相遇问题的思路和方法（1）抓住一个条件、用好两个关系①一个条件：速度相等。这是两物体是否追上（或相撞）、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。②两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。核心要点（2）常用方法①物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。②图像法：将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解。③数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ0，说明追不上或不能相碰。[试题案例][例2]一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：（1）汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？（2）汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？思路点拨开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。解析（1）法1基本规律法汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自所以t1＝v自a＝2sΔx＝v自t1－12at21＝6m法2极值法或数学分析法设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为由二次函数求极值的条件知t1＝2s时，Δx最大代入得Δx＝6mΔx＝x1－x2＝v自t1－12at21代入已知数据得Δx＝6t1－32t21法3图像法自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。（2）法1基本规律法当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有t1＝v1a＝63s＝2sΔx＝v1t12＝6×22m＝6mv2＝at2＝3×4m/s＝12m/s法2图像法由图可以看出，在t1时刻之后，标有阴影的两个三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4s，v2＝at2＝3×4m/s＝12m/s。答案（1）2s6m（2）4s12m/sv自t2＝12at22解得t2＝2v自a＝2×63s＝4s方法凝炼解答追及相遇问题的思维流程[针对训练2]汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？解析法1在汽车做匀减速运动的过程中，自行车仍在做匀速运动。当汽车的速度大于自行车速度时，两车间距离逐渐减小；当两车速度相等时，距离最小，当汽车速度小于自行车速度时，距离增大。因此，当汽车速度减小到与自行车速度相等没有碰撞时，便不会碰撞。因而开始时两车间距离等于汽车与自行车位移之差。汽车减速到4m/s时，发生的位移和运动的时间分别为这段时间内自行车发生的位移为x自＝v自t＝4×1m＝4m，汽车关闭油门时离自行车的距离为s＝x汽－x自＝（7－4）m＝3m。x汽＝v2自－v2汽2a＝16－1002×（－6）m＝7mt＝v自－v汽a＝4－10－6s＝1s，法2利用v－t图像进行求解，如图所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，图中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s。图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有s＝（v汽－v自）t2＝（v汽－v自）2×（v自－v汽）a＝（4－10）22×6m＝3m。答案3m