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-1-习题课——充分条件与必要条件的综合应用课标阐释思维脉络1.掌握探求一个命题成立的充分条件、必要条件、充要条件的方法与步骤.2.掌握利用充分条件、必要条件求参数取值范围的一般方法.充分条件与必要条件的综合应用充分条件与必要条件的探求利用充分条件与必要条件求参数的取值范围课前篇自主预习1.若A是B的充分不必要条件,则A是条件,B是结论,且A⇒B,但BA;若A是B的必要不充分条件,则A是条件,B是结论,且B⇒A,但AB;若A是B的充要条件,则A是条件,B是结论,且A⇒B,B⇒A.2.若A的充分不必要条件是B,则B是条件,A是结论,且B⇒A,但AB;若A的必要不充分条件是B,则B是条件,A是结论,且A⇒B,但BA;若A的充要条件是B,则B是条件,A是结论,且A⇒B,B⇒A.课前篇自主预习3.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q中相应变量的取值集合分别记为A,B,那么有以下结论:(1)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(2)若A⊆B,则p是q的充分条件;(3)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;(4)若A⊇B,则p是q的必要条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件;(6)若A不包含于B,B不包含于A,则p是q的既不充分也不必要条件.课前篇自主预习【做一做1】设x∈R,则x2的一个必要不充分条件是()A.x1B.x1C.x3D.x3解析首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x2”),p是q的必要不充分条件,即pq且q⇒p,显然只有A满足.答案A【做一做2】已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是()A.x=-B.x=-1C.x=5D.x=0解析因为a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,所以ab=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2=2x=0,即x=0.答案D12课前篇自主预习【做一做3】设a∈R,则“a1”是“|a|1”的条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析解绝对值不等式“|a|1”,得a1或a-1,又“a1”是“a1或a-1”的充分不必要条件,即“a1”是“|a|1”的充分不必要条件,答案充分不必要课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究一充分条件、必要条件、充要条件的探求例1(1)“x2-4x0”的一个充分不必要条件为()A.0x4B.0x2C.x0D.x4(2)不等式x(x-2)0成立的一个必要不充分条件是()A.x∈(0,2)B.x∈[-1,+∞)C.x∈(0,1)D.x∈(1,3)解析(1)由x2-4x0得0x4,则充分不必要条件是集合{x|0x4}的真子集,故选B.(2)由x(x-2)0得0x2,因为(0,2)⫋[-1,+∞),所以“x∈[-1,+∞)”是“不等式x(x-2)0成立”的一个必要不充分条件.答案(1)B(2)B课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测延伸探究将本例(1)改为“x2-4x0”是“(x+1)·(x-5)≤0”的什么条件?解由x2-4x0,得0x4,由(x+1)(x-5)≤0,得-1≤x≤5,所以“x2-4x0”是(x+1)(x-5)≤0的充分不必要条件.反思感悟探求充分条件与必要条件的解题策略1.探求一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测变式训练1(1)下列不等式:①x1;②0x1;③-1x0;④-1x1;⑤x-1.其中,可以作为x21的一个充分不必要条件的所有序号为;可以作为x21的一个必要不充分条件的所有序号为.(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是.解析(1)由x21,得-1x1,而{x|0x1}⫋{x|-1x1},{x|-1x0}⫋{x|-1x1},所以0x1和-1x0都可作为x21的一个充分不必要条件.因为{x|-1x1}⫋{x|x1},{x|-1x1}⫋{x|x-1},所以x1和x-1均可作为x21的一个必要不充分条件.(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切⇔圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于2⇔|1+1+𝑚|2=2⇔|m+2|=2⇔m=-4或m=0.答案(1)②③①⑤(2)m=-4或m=0课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知命题p:|x-4|≤6,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m0),整理得[x-(1-m)]·[x-(1+m)]≤0,解得1-m≤x≤1+m,又∵命题p是命题q的充分不必要条件,∴∴m≥9或m9.∴实数m的取值范围是[9,+∞).1-𝑚-2,1+𝑚≥10或1-𝑚≤-2,1+𝑚10,课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测反思感悟根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:条件类别集合M与N的关系p是q的充分不必要条件M⫋Np是q的必要不充分条件M⫌Np是q的充要条件M=Np是q的充分条件M⊆Np是q的必要条件M⊇N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测变式训练2已知p:(x-m)23(x-m),q:x2+3x-40,且p是q成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为()A.(-∞,-7)∪(1,+∞)B.(-∞,-7]∪[1,+∞)C.[-7,1]D.(-7,1)解析由题意知,命题p:xm+3或xm;q:-4x1,因为命题p是命题q成立的必要不充分条件,所以{x|-4x1}是{x|xm+3或xm}的真子集,从而有m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7,故选B.答案B课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测思维辨析一题多解——充要条件的探求与证明典例已知x,y都是非零实数,且xy,求证:的充要条件是xy0.1𝑥1𝑦证明法一:充分性:由xy0及xy,得𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦,即1𝑥1𝑦.必要性:由1𝑥1𝑦,得1𝑥−1𝑦0,即𝑦-𝑥𝑥𝑦0.因为xy,所以y-x0,所以xy0.所以1𝑥1𝑦的充要条件是xy0.法二:1𝑥1𝑦⇔1𝑥−1𝑦0⇔𝑦-𝑥𝑥𝑦0.由条件xy⇔y-x0,故由𝑦-𝑥𝑥𝑦0⇔xy0.所以1𝑥1𝑦⇔xy0,即1𝑥1𝑦的充要条件是xy0.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测方法总结1.探求充要条件一般有两种方法:(1)探求A成立的充要条件时,先将A视为条件,并由A推导结论(设为B),再证明B是A的充分条件,这样就能说明A成立的充要条件是B,即从充分性和必要性两方面说明.(2)将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件,探求的过程同时也是证明的过程,因为探求过程每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来说明.2.充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测1.“a+b2c”的一个充分不必要条件是()A.ac或bcB.ac或bcC.ac且bcD.ac且bc解析由ac且bc可推得a+b2c,但当a+b2c时,不一定能推得ac且bc,故选D.答案D2.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.m1或m14B.14m1C.m14D.m1解析方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时,有16m2+4-20m0,解得m1或m14,故所求充要条件即为m1或m14.答案A课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测3.若“xa”是“x2-2x-3≥0”的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤-1C.-1≤a≤3D.a≤3解析因为x2-2x-3≥0,所以x≥3或x≤-1.又因为“xa”是“x2-2x-3≥0”的充分不必要条件,故a≤-1.答案B4.已知p:x2-x0,则命题p的一个充分条件是()A.1x3B.-1x1C.13x34D.12x5答案C课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测5.已知p:2x+m0,q:x2-4x0,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是.解析p:x-𝑚2,q:x0或x4,由条件知p⇒q,所以-𝑚2≥4,即m≤-8.答案(-∞,-8]课堂篇探究学习