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-1-第一章常用逻辑用语-2-1.1命题及其关系-3-1.1.1命题课标阐释思维脉络1.通过实例了解命题的定义,会判断一个语句是不是命题.2.掌握判断命题真假的方法,会判断一个命题的真假.3.掌握命题的结构,会分析命题的条件和结论.命题定义分类真命题假命题结构条件结论课前篇自主预习【思考1】在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?答案对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.1.命题的定义一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.名师点拨1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题必须同时具备两个条件:一是陈述句;二能够判断真假.2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.课前篇自主预习【做一做1】下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°;②23;③一个数不是正数就是负数;④x2;⑤2019央视猪年春晚真精彩啊!A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤解析①②③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④⑤不是命题.答案A课前篇自主预习2.命题的分类命题按照其真假可以分为两类:真命题和假命题,判断为真的命题叫真命题,判断为假的命题叫假命题.名师点拨数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.【做一做2】下列命题是真命题的为()A.若1𝑥=1𝑦,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则𝑥=𝑦D.若xy,则x2y2解析由1𝑥=1𝑦,得x=y;由x2=1,得x=±1;当x=y时,𝑥,𝑦不一定有意义;由xy不一定得到x2y2.故A中的命题为真命题.答案A【思考2】命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么?答案条件是“一个数是实数”,结论是“它的平方是非负数”.课前篇自主预习3.命题的构成一个命题常写成“若p,则q”的形式,其中命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.特别提醒数学上有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但可以将它改写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论.【做一做3】将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为.解析该命题的条件是四边形的对角线相等,结论是该四边形是矩形,故写成“若p,则q”的形式为:若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形.答案若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一命题的判断例1判断下列语句是不是命题,并说明理由.(1)三角形的三个内角的和等于360°;(2)a+b=4;(3)2020年奥运会的举办城市是日本东京;(4)这是一棵大树;(5)你是高二的学生吗?(6)求证:是无理数;(7)并非所有的人都喜欢数学;(8)x2+10.2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思路分析按照命题的定义进行分析判断.解(1)这是陈述句,且可以判断真假,因此是命题;(2)由于变量a,b的值不确定,无法判断其真假,因此不是命题;(3)这是陈述句,且可以判断真假,因此是命题;(4)“大树”的标准不确定,无法判断其真假,因此不是命题;(5)这是疑问句,不是命题;(6)这是祈使句,不是命题;(7)可以判断为真,人群中有的人喜欢数学,也存在着不喜欢数学的人,因此是命题;(8)虽然变量x的值不确定,但可以判断其真假,因此是命题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判定一个语句是否为命题的方法(1)必须是陈述句,祈使句、疑问句、感叹句一般都不是命题.(2)含义模糊不清,不能判断真假的语句,不是命题.另外,并非所有的陈述语句都是命题,凡是在陈述语句中含有比喻、形容词的,都不是命题.(3)不要误以为判断为假的陈述句不是命题,只不过它是假命题而已.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1给出下列语句:①北京是中国的首都;②x=2是方程x2-4x+4=0的根;③3200不是大数;④sinx-x2;⑤0是自然数吗?⑥我希望明年考上北京大学;⑦函数y=x2是奇函数.其中是命题的是.解析①可以判断真假,是陈述句,是命题;②可以判断真假,是陈述句,是命题;③不是命题,因为无法判断其真假;④不是命题,因为无法判断其真假,其真假与x的取值范围有关;⑤不是命题,因为它是疑问句;⑥不是命题,因为它是祈使句;⑦可以判断真假,是陈述句,是命题.答案①②⑦课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二命题真假的判断例2判断下列命题是真命题还是假命题?(1)𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶;(2)log2x2=2log2x;(3)若m1,则方程x2-2x+m=0无实根;(4)直线x+y=0的倾斜角是π4;(5)若α=3π4,则sinα=22;(6)若x∈A,则x∈A∩B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思路分析根据真假命题的定义,结合相关的数学知识进行推理判断.解(1)是真命题;(2)是假命题,如当x=-1时,log2x2=0,而2log2x=2log2(-1)无意义;(3)是真命题,若m1,则Δ=4-4m0;(4)是假命题,直线x+y=0的倾斜角是;(5)是真命题;(6)是假命题,如当A={1,2,3},B={2,3,4}时,1∈A,但1∉A∩B.反思感悟命题真假的判定方法根据已学过的定义、定理、公理、已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理,若得出的结果与结论相符,则为真命题;反之,为假命题.说明一个命题是假命题,只需举一个反例即可.3π4课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实数根;③对于实数x,若x-2=0,则(x-2)(x+1)=0;④若p0,则p2p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.解析当c=0时不成立,故①是假命题;方程x2-x+1=0的判别式Δ=-30,所以方程x2-x+1=0无实根,故②是假命题;取p=0.50,但p2p不成立,故④是假命题;正方形的四条边相等,是菱形,故⑤是假命题,对于③,若x-2=0,则x=2,所以(x-2)(x+1)=0,故③是真命题.答案③①②④⑤课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三命题结构的分析例3指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假.(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若a0,b0,则a+b0;(3)面积相等的两个三角形全等;(4)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.思路分析注意对命题的表述形式进行改变,然后找出其条件和结论.解(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:a是偶数.这是一个真命题.(2)条件p:a0,b0,结论q:a+b0.这是一个假命题.(3)命题改写为:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等.条件p:两个三角形面积相等,结论q:这两个三角形全等.这是一个假命题.(4)命题改写为:已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2.条件p:y=x+1,结论q:y=3,x=2.这是一个假命题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟命题结构形式的改写1.数学中的命题基本上都是“若p,则q”的形式,但也有一些命题,从形式上看,不是“若p则q”的形式,而将其表述进行适当改变,也可以写成“若p则q”的形式.2.改写命题时,不能把大前提放在条件中,应写在“若”前面,仍作为命题的大前提.3.对一个命题的形式进行改写后,其真假性保持不变.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论,并判断各命题的真假.(1)相似三角形的对应边成比例;(2)当0a1时,函数y=ax是减函数;(3)平行于同一个平面的两平面平行.解(1)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.条件p:两个三角形相似,结论q:两个三角形的对应边成比例.这是一个真命题.(2)若0a1,则函数y=ax是减函数.条件p:0a1,结论q:函数y=ax是减函数.这是一个真命题.(3)若两个平面平行于同一个平面,则这两个平面平行.条件p:两个平面平行于同一个平面,结论q:这两个平面平行.这是一个真命题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多变——命题的真假判断典例给定下列命题:①若ab,则2a2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③直线x=是函数y=sinx的一条对称轴;④在△ABC中,若0,则△ABC是钝角三角形.其中为真命题的是.π2𝐴𝐵·𝐵𝐶课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析对于①,根据函数f(x)=2x的单调性知①为真命题.对于②,若a=1+3,b=1-3,则a+b=2不是无理数,因此②是假命题.对于③,函数y=sinx的对称轴方程为x=π2+kπ,k∈Z,故③为真命题.对于④,因为𝐴𝐵·𝐵𝐶=|𝐴𝐵||𝐵𝐶|cos(π-B)=-|𝐴𝐵||𝐵𝐶|cosB0,故得cosB0,从而得∠B为钝角,所以④为真命题.答案①③④方法总结命题真假的判断方法课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(变结论)本例中命题①变为“若ab,则方程ax2-2bx+a=0无实根”,该命题是真命题还是假命题.解若a=1,b=-5,满足ab,但Δ=4b2-4a20,方程有两个不相等的实根,因此该命题是假命题.变式训练2(变条件)本例中命题④变为“若0,则△ABC是锐角三角形”,该命题还是真命题吗?解不是真命题,0只能说明∠B是锐角,其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角,才可以判定三角形为锐角三角形.𝐴𝐵·𝐵𝐶𝐴𝐵·𝐵𝐶课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测1.下列语句不是命题的个数为()①21;②x1;③若x1,则x2;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3解析语句①③④都能判断真假,是命题,语句②不能判断真假,不是命题.答案B2.下列命题中,是假命题的是()A.125B.若函数f(x)=ax(a0,a≠1)是单调函数,则a1C.若向量a,b满足a⊥b,则a·b=0D.三角形的三条中线交于一点解析若函数f(x)=ax是单调函数,则a1或0a1,因此B项中的命题是假命题.答案B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测3.命题“正弦函数是周期函数”的条件是()A.一个函数是正弦函数B.一个函数是周期函数C.一个函数不是正弦函数D.一个函数不是周期函数解析命题可以改写为“若一个函数是正弦函数,则它是周期函数”,因此其条件是“一个函数是正弦函数”.答案A课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测4.下列语句是命题的是.①证明x2+2x+1≥0;②你是团员吗?③一个正整数不是素数就是合数;④若x∈R,则x2+4x+70.解析①②不是命题,①是祈使句,②是疑问句;③④是命题,其中③是假命题,如正整数1既不是素数也不是合数;④是真命题,因为x2+4x+7=(x+2)2+30恒成立.答案③④课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测5.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)当acbc时,ab;(2)当m时,方程mx2-x+1=0无实根;(3)当abc=0时,a=0或b=0或c=0.解(1)若acbc,则ab,是假命题.(2)若m,则方程mx2-x+1=0无实根,是真命题.(3)若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题.1414课堂篇探究学习