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-1-第2课时利用向量证明空间中的垂直关系课标阐释思维脉络1.理解垂直关系与直线方向向量、平面法向量的关系.2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法.利用空间向量证明垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直课前篇自主预习【思考】若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么?答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线的方向向量,所以l1与l2垂直.垂直关系与方向向量、法向量的关系线线垂直设直线l,m的方向向量分别为a,b,则(1)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(2)当a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)时,l⊥m⇔a1a2+b1b2+c1c2=0线面垂直设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则(1)l⊥α⇔a∥n⇔a=λn(λ∈R);(2)当a=(a1,b1,c1),n=(a2,b2,c2),l⊥α⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则(1)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0;(2)当n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)时,α⊥β⇔a1a2+b1b2+c1c2=0课前篇自主预习【做一做1】直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则()A.l1∥l2B.l1与l2相交,但不垂直C.l1⊥l2D.不能确定解析因为a·b=0,所以a⊥b,故l1⊥l2.答案C【做一做2】设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=()A.2B.-5C.4D.-2解析因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.答案B课前篇自主预习做一做3】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.()(4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.()(5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一利用向量方法证明线线垂直例1如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,12,12.∵E在BC上,∴设E(m,1,0),∴𝑃𝐸=(m,1,-1),𝐴𝐹=0,12,12.∵𝑃𝐸·𝐴𝐹=0,∴PE⊥AF.∴无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF.(方法2)因为点E在边BC上,可设𝐵𝐸=λ𝐵𝐶,于是𝑃𝐸·𝐴𝐹=(𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐸)·12(𝐴𝑃+𝐴𝐵)=12(𝑃𝐴+𝐴𝐵+λ𝐵𝐶)·(𝐴𝐵+𝐴𝑃)=12(𝑃𝐴·𝐴𝐵+𝑃𝐴·𝐴𝑃+𝐴𝐵·𝐴𝐵+𝐴𝐵·𝐴𝑃+λ𝐵𝐶·𝐴𝐵+λ𝐵𝐶·𝐴𝑃)=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此𝑃𝐸⊥𝐴𝐹.故无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.证明同例题建系,易知𝐴𝐹=0,12,12,𝐵𝐶=(a,0,0),因为𝐴𝐹·𝐵𝐶=0,所以AF⊥BC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,0,B1(1,1,1).(1)∵𝐵𝐷1=(-1,-1,1),𝐴𝐶=(-1,1,0),∴𝐵𝐷1·𝐴𝐶=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0.∴𝐵𝐷1⊥𝐴𝐶,∴BD1⊥AC.(2)∵𝐵𝐷1=(-1,-1,1),𝐸𝐵1=12,12,1,∴𝐵𝐷1·𝐸𝐵1=(-1)×12+(-1)×12+1×1=0,∴𝐵𝐷1⊥𝐸𝐵1,∴BD1⊥EB1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法证明线面垂直例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明与法向量共线,从而证得结论.𝐷1𝑀𝐷1𝑀𝐷1𝑀课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,所以𝐷1𝑀=𝐷1𝐵1+𝐵1𝑀=𝐷𝐴+𝐷𝐶+12𝐵1𝐵,而𝐵1𝐸=𝐵1𝐵+𝐵𝐸=𝐵1𝐵−12𝐷𝐶,于是𝐷1𝑀·𝐵1𝐸=(𝐷𝐴+𝐷𝐶+12𝐵1𝐵)·(𝐵1𝐵−12𝐷𝐶)=0-0+0-12+12−14×0=0,因此𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸.同理𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐹,又因为𝐵1𝐸,𝐵1𝐹不共线,因此D1M⊥平面EFB1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是𝐷1𝑀=1,1,-12,𝐵1𝐸=0,-12,-1,𝐵1𝐹=-12,0,-1,因此𝐷1𝑀·𝐵1𝐸=1×0+1×-12+-12×(-1)=0,故𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸;又𝐷1𝑀·𝐵1𝐹=1×-12+1×0+-12×(-1)=0,故𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸.又𝐵1𝐸,𝐵1𝐹不共线,因此D1M⊥平面EFB1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(方法3)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是𝐷1𝑀=1,1,-12,𝐵1𝐸=0,-12,-1,𝐵1𝐹=-12,0,-1,设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z),于是n⊥𝐵1𝐸,n⊥𝐵1𝐹,因此-12𝑦-𝑧=0,-12𝑥-𝑧=0,取x=2,则y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=12(2,2,-1),即𝐷1𝑀=12n,所以𝐷1𝑀∥n,故D1M⊥平面EFB1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,22,0),C(2,22,0),所以𝐵𝐷=(-4,22,0),𝐴𝐶=(2,22,0),𝐴𝑃=(0,0,4).所以𝐵𝐷·𝐴𝐶=(-4)×2+22×22+0×0=0,𝐵𝐷·𝐴𝑃=(-4)×0+22×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.因为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三利用向量方法证明面面垂直例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,则𝐴𝐴1=(0,0,1),𝐴𝐶=(-2,2,0),𝐴𝐶1=(-2,2,1),𝐴𝐸=-2,0,12.设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1).则𝑛1·𝐴𝐴1=0,𝑛1·𝐴𝐶=0⇒𝑧1=0,-2𝑥1+2𝑦1=0.令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2).则𝑛2·𝐴𝐶1=0,𝑛2·𝐴𝐸=0⇒-2𝑥2+2𝑦2+𝑧2=0,-2𝑥2+12𝑧2=0,令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.则A(2,0,0),A1(2,0,1),C