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-1-3.1.5空间向量运算的坐标表示课标阐释思维脉络1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用.3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题.空间向量运算的坐标表示运算法则平行、垂直的条件模、夹角公式距离公式→应用课前篇自主预习【思考】设m=(x1,y1),n=(x2,y2),那么m+n,m-n,λm,m·n如何运算?答案m+n=(x1+x2,y1+y2),m-n=(x1-x2,y1-y2),λm=(λx1,λy1),m·n=x1x2+y1y2.课前篇自主预习1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa(λa1,λa2,λa3)数量积a·ba1b1+a2b2+a3b3【做一做1】已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m-n=,(2m)·(-3n)=.解析m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.答案(-1,-1,1)(5,-11,19)168课前篇自主预习2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.名师点拨当b的坐标b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔.𝑎1𝑏1=𝑎2𝑏2=𝑎3𝑏3【做一做2】已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=,若a⊥b,则λ=.解析若a∥b,则有-2𝜆=𝜆8=-1𝜆-6,解得λ=4.若a⊥b,则a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-23.答案4-23课前篇自主预习3.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(2)cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32𝑏12+𝑏22+𝑏32;(3)若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则A,B两点间的距离为dAB=|𝐴𝐵|=(𝑎1-𝑎2)2+(𝑏1-𝑏2)2+(𝑐1-𝑐2)2.解析|a|=𝑎·𝑎=(-2)2+22+(3)2=3,a与b夹角的余弦值cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-6+12+03×36=69.【做一做3】已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),则|a|=,a与b夹角的余弦值等于.答案369课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一空间向量的坐标运算例1已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求𝐴𝐵+𝐶𝐴,𝐶𝐵-2𝐵𝐴,𝐴𝐵·𝐴𝐶;(2)若点M满足𝐴𝑀=12𝐴𝐵+34𝐴𝐶,求点M的坐标;(3)若p=𝐶𝐴,q=𝐶𝐵,求(p+q)·(p-q).思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.解(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以𝐴𝐵=(-3,5,-4),𝐶𝐴=(-1,0,9).所以𝐴𝐵+𝐶𝐴=(-4,5,5).又𝐶𝐵=(-4,5,5),𝐵𝐴=(3,-5,4),所以𝐶𝐵-2𝐵𝐴=(-10,15,-3).又𝐴𝐵=(-3,5,-4),𝐴𝐶=(1,0,-9),所以𝐴𝐵·𝐴𝐶=-3+0+36=33.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)由(1)知,𝐴𝑀=12𝐴𝐵+34𝐴𝐶=12(-3,5,-4)+34(1,0,-9)=-34,52,-354,若设M(x,y,z),则𝐴𝑀=(x-1,y+2,z-4),于是𝑥-1=-34,𝑦+2=52,𝑧-4=-354,解得𝑥=14,𝑦=12,𝑧=-194,故M14,12,-194.(3)由(1)知,p=𝐶𝐴=(-1,0,9),q=𝐶𝐵=(-4,5,5).(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在△ABC中,A(2,-5,3),𝐴𝐵=(4,1,2),𝐵𝐶=(3,-2,5).(1)求顶点B,C的坐标;(2)求𝐶𝐴·𝐵𝐶;(3)若点P在AC上,且𝐴𝑃=12𝑃𝐶,求点P的坐标.解(1)设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以𝐴𝐵=(x-2,y+5,z-3),𝐵𝐶=(x1-x,y1-y,z1-z).因为𝐴𝐵=(4,1,2),所以𝑥-2=4,𝑦+5=1,𝑧-3=2,解得𝑥=6,𝑦=-4,𝑧=5,所以点B的坐标为(6,-4,5).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测因为𝐵𝐶=(3,-2,5),所以𝑥1-6=3,𝑦1+4=-2,𝑧1-5=5,解得𝑥1=9,𝑦1=-6,𝑧1=10,所以点C的坐标为(9,-6,10).(2)因为𝐶𝐴=(-7,1,-7),𝐵𝐶=(3,-2,5),所以𝐶𝐴·𝐵𝐶=-21-2-35=-58.(3)设P(x,y,z),则𝐴𝑃=(x-2,y+5,z-3),𝑃𝐶=(9-x,-6-y,10-z),于是有(x-2,y+5,z-3)=12(9-x,-6-y,10-z),所以𝑥-2=12(9-𝑥),𝑦+5=12(-6-𝑦),𝑧-3=12(10-𝑧),解得𝑥=133,𝑦=-163,𝑧=163,故点P的坐标为133,-163,163.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二空间向量的平行与垂直例2已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=𝐴𝐵,b=𝐴𝐶.(1)若|c|=3,c∥𝐵𝐶,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.思路分析(1)根据c∥𝐵𝐶,设c=λ𝐵𝐶,则向量c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)∵𝐵𝐶=(-2,-1,2)且c∥𝐵𝐶,∴设c=λ𝐵𝐶=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=(-2𝜆)2+(-𝜆)2+(2𝜆)2=3|λ|=3.解得λ=±1.∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=𝐴𝐵=(1,1,0),b=𝐴𝐶=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分别求λ与m的值;(2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.5解(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),∴𝜆+1=6𝑘,1=𝑘(2𝑚-1),2𝜆=2𝑘,解得𝜆=𝑘=15,𝑚=3.∴实数λ=15,m=3.(2)∵|a|=5,且a⊥c,∴(𝜆+1)2+12+(2𝜆)2=5,(𝜆+1,1,2𝜆)·(2,-2𝜆,-𝜆)=0,化简,得5𝜆2+2𝜆=3,2-2𝜆2=0,解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三空间向量夹角与模的计算例3如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.𝐵𝑀,𝐵𝑁课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).则B(0,1,0),M(1,0,1),N0,12,1.(1)∵𝐵𝑀=(1,-1,1),𝐵𝑁=0,-12,1,∴|𝐵𝑀|=12+(-1)2+12=3,|𝐵𝑁|=02+-122+12=52.故BM的长为3,BN的长为52.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠MBN.∵cos∠MBN=cos𝐵𝑀,𝐵𝑁=𝐵𝑀·𝐵𝑁|𝐵𝑀||𝐵𝑁|=323×52=155,∴sin∠MBN=1-1552=105,故S△BMN=12×3×52×105=64.即△BMN的面积为64.反思感悟向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=,EF=.解析以A为原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则E0,12,1,F1,0,12,∴𝐴𝐸=0,12,1,𝐴𝐹=1,0,12,𝐸𝐹=1,-12,-12,∴cos𝐴𝐸,𝐴𝐹=𝐴𝐸·𝐴𝐹|𝐴𝐸|·|𝐴𝐹|=1252×52=25,∴cos∠EAF=25,EF=|𝐸𝐹|=62.答案2562课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多变——空间向量的平行与垂直典例正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3𝐵1𝑃=𝑃𝐷1,若PQ⊥AE,𝐵𝐷=λ𝐷𝑄,求λ的值.解如图所示,以点D为原点,𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),因为3𝐵1𝑃=𝑃𝐷1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),所以3a-3=-a,解得a=34,课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测所以点P的坐标为34,34,1.由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为PQ⊥AE,所以𝑃𝑄·𝐴𝐸=0