搜索
-1-3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课标阐释思维脉络1.掌握空间向量基本定理,会用空间向量基本定理解决问题.2.了解空间向量正交分解的含义.3.理解空间向量坐标的含义,能用坐标表示空间向量.空间向量正交分解及坐标表示空间向量基本定理单位正交分解空间向量的坐标表示课前篇自主预习【思考1】平面向量基本定理的内容是什么?答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1.空间向量基本定理如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.课前篇自主预习【做一做1】在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是()A.𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴1𝐶1B.𝐴𝐵,𝐴𝐵1,𝐴𝐴1C.𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐴1D.𝐴𝐴1,𝐴𝐶,𝐴1𝐶1解析只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱中,𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐴1不共面,可作为基底.答案C课前篇自主预习【思考2】平面向量的坐标是如何表示的?答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.设𝑂𝐴=xi+yj,则向量𝑂𝐴的坐标(x,y)就是点A的坐标,即若𝑂𝐴=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).课前篇自主预习【做一做2】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)空间向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.()(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√(3)已知A,B,M,N是空间四点,若𝐵𝐴,𝐵𝑀,𝐵𝑁不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.()课前篇自主预习2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量=p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).𝑂𝑃课前篇自主预习【做一做3】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若𝐴𝐵=3i,𝐴𝐷=2j,𝐴𝐴1=5k,则𝐴𝐶1等于()A.i+j+kB.13i+12j+15kC.3i+2j+5kD.3i+2j-5k解析𝐴𝐶1=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐶1=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1=3i+2j+5k.答案C【做一做4】若a=3e1+2e2-e3,且{e1,e2,e3}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.答案(3,2,-1)课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一基底的判断例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且𝑂𝐴=e1+2e2-e3,𝑂𝐵=-3e1+e2+2e3,𝑂𝐶=e1+e2-e3,试判断{𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶}能否作为空间的一个基底.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析(1)如图所示,令a=𝐴𝐵,b=𝐴𝐴1,c=𝐴𝐷,则x=𝐴𝐵1,y=𝐴𝐷1,z=𝐴𝐶,a+b+c=𝐴𝐶1.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.答案C(2)解设𝑂𝐴=x𝑂𝐵+y𝑂𝐶,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴𝑦-3𝑥=1,𝑥+𝑦=2,2𝑥-𝑦=-1,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得𝑂𝐴=x𝑂𝐵+y𝑂𝐶,所以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶不共面.所以{𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶}能作为空间的一个基底.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.解假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.∴1=𝜇,1=𝜆,0=𝜆+𝜇,此方程组无解.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二用基底表示空间向量例2如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设𝑂𝐴=a,𝑂𝐶=b,𝑂𝑃=c,点E,F分别是PC,PB的中点,试用a,b,c表示:𝐵𝐹,𝐵𝐸,𝐴𝐸,𝐸𝐹.思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a,b,c表示课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解连接BO,则𝐵𝐹=12𝐵𝑃=12(𝐵𝑂+𝑂𝑃)=12(c-b-a)=-12a-12b+12c.𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=𝐵𝐶+12𝐶𝑃=𝐵𝐶+12(𝐶𝑂+𝑂𝑃)=-a-12b+12c.𝐴𝐸=𝐴𝑃+𝑃𝐸=𝐴𝑂+𝑂𝑃+12(𝑃𝑂+𝑂𝐶)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.𝐸𝐹=12𝐶𝐵=12𝑂𝐴=12a.延伸探究若本例条件不变,试用a,b,c表示向量𝑃𝐵.解𝑃𝐵=𝑃𝑂+𝑂𝐵=𝑃𝑂+12(𝑂𝐴+𝑂𝐶)=12a+12b-c.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知空间四边形OABC中,𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则𝑀𝑁等于()A.12a-23b+12cB.-23a+12b+12cC.12a+12b-12cD.23a+23b-12c解析显然𝑀𝑁=𝑂𝑁−𝑂𝑀=12(𝑂𝐵+𝑂𝐶)-23𝑂𝐴.答案B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三空间向量的坐标表示例3在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求𝐷𝑂,𝐴1𝐵的坐标.思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将𝐷𝑂,𝐴1𝐵用基底表示,即得坐标.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,从而建立以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝑂1方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系O-xyz,如图,则𝑂𝐴=4i,𝑂𝐵=2j,𝑂𝑂1=4k,𝐷𝑂=-𝑂𝐷=-(𝑂𝑂1+𝑂1𝐷)=-𝑂𝑂1+12(𝑂𝐴+𝑂𝐵)=-𝑂𝑂1−12𝑂𝐴−12𝑂𝐵=-2i-j-4k,故𝐷𝑂的坐标为(-2,-1,-4).𝐴1𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴1=𝑂𝐵-(𝑂𝐴+𝐴𝐴1)=𝑂𝐵−𝑂𝐴−𝐴𝐴1=-4i+2j-4k,故𝐴1𝐵的坐标为(-4,2,-4).即𝐷𝑂=(-2,-1,-4),𝐴1𝐵=(-4,2,-4).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下:课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐴1}为基底,则向量𝐴𝐸的坐标为,向量𝐴𝐹的坐标为,向量𝐴𝐶1的坐标为.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析因为𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐷1+𝐷1𝐸=12𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐸的坐标为12,1,1.因为𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐵1+𝐵1𝐹=𝐴𝐵+12𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐹的坐标为1,12,1.因为𝐴𝐶1=𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1,所以向量𝐴𝐶1的坐标为(1,1,1).答案12,1,11,12,1(1,1,1)课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多解——空间向量的坐标表示典例如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量的坐标.𝑀𝑁课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解∵PA=AB=AD=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝑃是两两垂直的单位向量.设𝐴𝐵=e1,𝐴𝐷=e2,𝐴𝑃=e3,以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz.法一:如图所示,∵𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝑃+𝑃𝑁=-12𝐴𝐵+𝐴𝑃+12𝑃𝐶=-12𝐴𝐵+𝐴𝑃+12(𝑃𝐴+𝐴𝐶)=-12𝐴𝐵+𝐴𝑃+12(𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐴𝐷)=12𝐴𝐷+12𝐴𝑃=12e2+12e3,∴𝑀𝑁=0,12,12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测法二:如图所示,连接AC,BD交于点O.则点O为AC,BD的中点,连接MO,ON,∴𝑀𝑂=12𝐵𝐶=12𝐴𝐷,𝑂𝑁=12𝐴𝑃,∴𝑀𝑁=𝑀𝑂+𝑂𝑁=12𝐴𝐷+12𝐴𝑃=12e2+12e3.∴𝑀𝑁=0,12,12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基