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-1-3.1.2空间向量的数乘运算课标阐释思维脉络1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律.2.理解向量共线、向量共面的定义.3.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.空间向量的数乘运算数乘运算的定义、运算律共线向量定义共线向量定理——应用共面向量定义共面向量定理——应用课前篇自主预习【思考1】平面向量中,实数λ和向量a的乘积λa的意义是什么?向量的数乘运算满足哪些运算律?答案λ0时,λa和a方向相同;λ0时,λa和a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ|倍.向量的数乘运算满足分配律及结合律:①分配律:λ(a+b)=λa+λb;②结合律:λ(μa)=(λμ)a.课前篇自主预习1.空间向量的数乘运算(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ=0λa=0,其方向是任意的λ0方向相反(3)空间向量的数乘运算律若λ,μ是实数,a,b是空间向量,则有①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa;②结合律:λ(μa)=(λμ)a.课前篇自主预习名师点拨对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量.(2)λa=0⇔λ=0或a=0.(3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量.课前篇自主预习【做一做1】已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,则𝐴𝐵+12(𝐵𝐷+𝐵𝐶)等于()A.𝐴𝐺B.𝐶𝐺C.𝐵𝐶D.12𝐵𝐶解析𝐴𝐵+12(𝐵𝐷+𝐵𝐶)=𝐴𝐵+12(2𝐵𝐺)=𝐴𝐵+𝐵𝐺=𝐴𝐺.答案A【思考2】回顾平面向量中关于向量共线的知识,给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.课前篇自主预习2.共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使a=λb若两个向量a,b不共线,则向量p与a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb课前篇自主预习共线(平行)向量共面向量推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使𝑂𝑃=𝑂𝐴+ta①,其中a叫做直线l的方向向量,如图所示.若在l上取𝐴𝐵=a,则①式可化为𝑂𝑃=𝑂𝐴+t𝐴𝐵如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵或对空间任意一点O来说,有𝑂𝑃=𝑂𝑀+x𝑀𝐴+y𝑀𝐵课前篇自主预习名师点拨共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c.则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.(2)空间三点共线的充要条件若在直线l上取𝐴𝐵=a,则𝑂𝑃=𝑂𝐴+t𝐴𝐵=𝑂𝐴+t(𝑂𝐵−𝑂𝐴)=(1-t)𝑂𝐴+t𝑂𝐵(t∈R).因此空间三点P,A,B共线的充要条件为𝑂𝑃=α𝑂𝐴+β𝑂𝐵(α+β=1).此结论非常重要,经常用于解题过程中.课前篇自主预习【做一做2】满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是()A.𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶B.𝐴𝐵−𝐵𝐶=𝐴𝐶C.𝐴𝐵=𝐵𝐶D.|𝐴𝐵|=|𝐵𝐶|解析当满足条件𝐴𝐵=𝐵𝐶时,𝐴𝐵∥𝐵𝐶,这时A,B,C三点共线.答案C课前篇自主预习【做一做3】对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量解析因为2a-b=2·a+(-1)·b,所以2a-b与a,b共面.答案A课前篇自主预习【做一做4】判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.()(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.()答案(1)×(2)×(3)×课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一空间向量的线性运算例1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设𝐴𝐴1=a,𝐴𝐵=b,𝐴𝐷=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:①𝐴𝐶1;②𝐴𝑃;③𝐴1𝑁.思路分析根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解.解①𝐴𝐶1=𝐴𝐵+𝐵𝐵1+𝐵1𝐶1=𝐴𝐵+𝐴𝐴1+𝐴𝐷=a+b+c.②𝐴𝑃=𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1+𝐷1𝑃=𝐴𝐴1+𝐴𝐷+12𝐴𝐵=a+c+12b,③𝐴1𝑁=𝐴1𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁=-𝐴𝐴1+𝐴𝐵+12𝐴𝐷=-a+b+12c.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.延伸探究本例条件不变,试用a,b,c表示向量𝑀𝑃+𝑁𝐶1.解𝑀𝑃+𝑁𝐶1=𝑀𝐴1+𝐴1𝐷1+𝐷1𝑃+𝑁𝐶+𝐶𝐶1=12a+c+12b+12c+a=32a+12b+32c.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1如图所示,已知空间四边形O-ABC,M,N分别是边OA,BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,试用a,b,c表示向量𝑂𝐺.解𝑂𝐺=𝑂𝑀+𝑀𝐺=12𝑂𝐴+23𝑀𝑁=12𝑂𝐴+23(𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁)=12𝑂𝐴+2312𝑂𝐴+𝑂𝐵−𝑂𝐴+12𝐵𝐶=12𝑂𝐴+23𝑂𝐵−12𝑂𝐴+12(𝑂𝐶−𝑂𝐵)=16𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶=16a+13b+13c.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测空间共线向量定理及其应用例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且𝐴1𝐸=2𝐸𝐷1,点F在对角线A1C上,且𝐴1𝐹=23𝐹𝐶.求证:E,F,B三点共线.思路分析可通过证明𝐸𝐹与𝐸𝐵共线来证明E,F,B三点共线.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测证明设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c.因为𝐴1𝐸=2𝐸𝐷1,𝐴1𝐹=23𝐹𝐶,所以𝐴1𝐸=23𝐴1𝐷1,𝐴1𝐹=25𝐴1𝐶,所以𝐴1𝐸=23𝐴𝐷=23b,𝐴1𝐹=25(𝐴𝐶−𝐴𝐴1)=25(𝐴𝐵+𝐴𝐷−𝐴𝐴1)=25a+25b-25c.所以𝐸𝐹=𝐴1𝐹−𝐴1𝐸=25a-415b-25c=25𝑎-23𝑏-𝑐.又𝐸𝐵=𝐸𝐴1+𝐴1𝐴+𝐴𝐵=-23b-c+a=a-23b-c,所以𝐸𝐹=25𝐸𝐵.因为𝐸𝐹与𝐸𝐵有公共点E,所以E,F,B三点共线.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:(1)考察是否存在实数λ,使𝑃𝐴=λ𝑃𝐵;(2)考察对空间任意一点O,是否有𝑂𝑃=𝑂𝐴+t𝐴𝐵;(3)考察对空间任意一点O,是否有𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵(x+y=1).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断𝐶𝐸与𝑀𝑁是否共线.解∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝐹+𝐹𝑁=12𝐶𝐴+𝐴𝐹+12𝐹𝐵.又𝑀𝑁=𝑀𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐵+𝐵𝑁=-12𝐶𝐴+𝐶𝐸−𝐴𝐹−12𝐹𝐵,∴2𝑀𝑁=12𝐶𝐴+𝐴𝐹+12𝐹𝐵−12𝐶𝐴+𝐶𝐸−𝐴𝐹−12𝐹𝐵=𝐶𝐸,即𝐶𝐸=2𝑀𝑁.∴𝐶𝐸与𝑀𝑁共线.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三空间共面向量定理及其应用例3已知A,B,C三点不共线,平面ABC外的一点M满足𝑂𝑀=12𝑂𝐴+13𝑂𝐵+16𝑂𝐶.(1)判断𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.思路分析要证明三个向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面,只需证明存在实数x,y,使𝑀𝐴=x𝑀𝐵+y𝑀𝐶,证明了三个向量共面,即可说明点M就在平面内.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)因为𝑂𝑀=12𝑂𝐴+13𝑂𝐵+16𝑂𝐶,所以6𝑂𝑀=3𝑂𝐴+2𝑂𝐵+𝑂𝐶,所以3𝑂𝐴-3𝑂𝑀=(2𝑂𝑀-2𝑂𝐵)+(𝑂𝑀−𝑂𝐶),因此3𝑀𝐴=2𝐵𝑀+𝐶𝑀=-2𝑀𝐵−𝑀𝐶.故向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面.(2)由(1)知向量𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶共面,三个向量又有公共点M,故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟证明共面问题的基本方法(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明.①𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵;②对于空间任意一点O,𝑂𝑃=𝑂𝑀+x𝑀𝐴+y𝑀𝐵;③对于空间任意一点O,𝑂𝑃=x𝑂𝑀+y𝑂𝐴+z𝑂𝐵(x+y+z=1);④𝑃𝑀∥𝐴𝐵(或𝑃𝐴∥𝑀𝐵或𝑃𝐵∥𝐴𝑀).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,确定在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面?(1)2𝑂𝐵+3𝑂𝑀=6𝑂𝑃−𝑂𝐴;(2)𝑂𝑃=4𝑂𝐴−𝑂𝐵−𝑂𝑀.解(1)原式可化为𝑂𝑃−𝑂𝐴=2(𝑂𝐵−𝑂𝑃)+3(𝑂𝑀−𝑂𝑃)=2𝑃𝐵+3𝑃𝑀,即𝐴𝑃=2𝑃𝐵+3𝑃𝑀.所以点P与点A,B,M一定共面.(2)原式可化为𝑂𝑃=2𝑂𝐴+(𝑂𝐴−𝑂𝐵)+(𝑂𝐴−𝑂𝑀)=2𝑂𝐴+𝐵𝐴+𝑀𝐴.由向量共面的充要条件的推论,得点P与点A,B,M共面的充要条件可写成𝑂𝑃=𝑂𝑀+x𝐵𝐴+y𝑀𝐴的形式,而此题推不出这一形式,故点P与点A,B,M不共面.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多解——四点共面问题典例已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:(1)𝑂𝐴+2𝑂𝐵=6𝑂𝑃-3𝑂𝐶;(2)𝑂𝑃+𝑂𝐶=4𝑂𝐴−𝑂𝐵.试判断点P是否与点A,B,C共面.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解法一:(1)∵3𝑂𝑃-3𝑂