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-1-2.3.2双曲线的简单几何性质课标阐释思维脉络1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2.能够利用双曲线的标准方程画出双曲线的图形.3.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.双曲线的几何性质范围对称性顶点渐近线离心率—应用课前篇自主预习【思考】观察下面的图形:(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制?(2)是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点?答案(1)有限制,因为≥1,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.𝑥2𝑎2课前篇自主预习双曲线的几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质图形焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R课前篇自主预习标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;实半轴长:a,虚半轴长:b离心率e=𝑐𝑎∈(1,+∞)渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏x课前篇自主预习名师点拨1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0),当λ0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ0时,对应的双曲线焦点在y轴上.𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏23.因为e=𝑐𝑎=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏𝑎2,所以𝑏𝑎=𝑒2-1,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于2.课前篇自主预习【做一做1】若点M(x0,y0)是双曲线=1上支上的任意一点,则x0的取值范围是,y0的取值范围是.解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.答案(-∞,+∞)[2,+∞)【做一做2】双曲线4x2-2y2=1的实轴长等于,虚轴长等于,焦距等于.𝑦24−𝑥225解析双曲线方程化为𝑥214−𝑦212=1,于是a2=14,b2=12,c2=34,所以a=12,b=22,c=32,故实轴长等于1,虚轴长等于2,焦距等于3.答案123课前篇自主预习【做一做3】双曲线𝑥22−𝑦214=1的离心率为.解析因为a2=2,所以a=2.又b2=14,所以c2=a2+b2=16,所以c=4,故e=𝑐𝑎=22.答案22课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一双曲线的几何性质例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写出各个结果.解双曲线的方程化为标准形式是𝑥29−𝑦24=1,∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=13.又双曲线的焦点在x轴上,∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=𝑐𝑎=133,渐近线方程为y=±23x.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何?解双曲线的方程化为标准形式是𝑦24−𝑥29=1,∴a2=4,b2=9,∴a=2,b=3,c=13.又双曲线的焦点在y轴上,∴顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-13),(0,13),实轴长2a=4,虚轴长2b=6,离心率e=𝑐𝑎=132,渐近线方程为y=±23x.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟求双曲线的几何性质的基本思路1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质.2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是()A.2B.22C.4D.42(2)双曲线𝑥24−𝑦29=1的渐近线方程是()A.y=±23xB.y=±49xC.y=±32xD.y=±94x解析(1)双曲线方程可变形为𝑦28−𝑥24=1,所以a2=8,a=22,故实轴长2a=42.(2)因为a2=4,b2=9,焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±32x.答案(1)D(2)C课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二根据双曲线几何性质求其标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程:(1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(,2);(2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2);(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.3653课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)设双曲线方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0).∵双曲线过点P(6,2),∴4𝑎2−6𝑏2=1.由题意得𝑎𝑏=23,4𝑎2-6𝑏2=1,解得𝑎2=43,𝑏2=3.故所求双曲线方程为3𝑦24−𝑥23=1.(2)设所求双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0).∵e=53,∴e2=𝑐2𝑎2=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=259,∴𝑏𝑎=43.由题意得𝑏𝑎=43,9𝑎2-12𝑏2=1,解得𝑎2=94,𝑏2=4.∴所求的双曲线方程为4𝑥29−𝑦24=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(3)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即𝑥2𝜆4−𝑦2𝜆9=1(λ≠0),由题意得a=3.当λ0时,𝜆4=9,λ=36,双曲线方程为𝑥29−𝑦24=1;当λ0时,-𝜆9=9,λ=-81,双曲线方程为𝑦29−4𝑥281=1.故所求双曲线方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦29−4𝑥281=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0).②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0).③与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1共焦点的双曲线方程可设为𝑥2𝑎2-𝜆−𝑦2𝑏2+𝜆=1(λ≠0,-b2λa2).④与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0).⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2);(2)双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).122课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)由已知,双曲线焦点在y轴上,设其方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0),则2a+2b=22c,即a+b=2c.又a=2,且a2+b2=c2,所以a=2,b=2,因此双曲线的标准方程为𝑦24−𝑥24=1.(2)由双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为𝑥222-y2=λ(λ≠0).因为A(2,-3)在双曲线上,所以2222-(-3)2=λ,即λ=-8,所求双曲线的标准方程为𝑦28−𝑥232=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三双曲线的渐近线与离心率问题例3(1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于()π2A.2-1B.2C.2+1D.2+2(2)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于,则其渐近线方程为.5课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析(1)不妨设双曲线标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2𝑏2𝑎.因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=𝑏2𝑎,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=2+1(e=1-2舍去),故选C.(2)依题意得e=𝑐𝑎=5,所以𝑐2𝑎2=5,即𝑎2+𝑏2𝑎2=5,解得𝑏𝑎=2.若双曲线焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,即y=±2x;若双曲线焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±𝑎𝑏x,即y=±12x.答案(1)C(2)y=±2x或y=±12x课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟双曲线的离心率与渐近线的求法及其关系1.求双曲线的离心率,就是求a和c的值或a和c的关系,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能将条件整理成关于a和c的关系式,进而求得的值,其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,化简为参数a,c的关系式进行求解.2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.𝑐𝑎𝑏𝑎=𝑒2-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3(1)过双曲线=1(a0,b0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于点E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为()𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2A.2B.3C.3D.2(2)已知直线2x-y+6=0过双曲线=1(m0)的一个焦点,则双曲线的渐近线方程为.𝑥2𝑚−𝑦28课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析(1)由已知得F(c,0),所以FM的方程为y=-𝑎𝑏(x-c),由𝑦=-𝑎𝑏(𝑥-𝑐),𝑦=𝑏𝑎𝑥,解得M𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐.又E0,𝑎𝑐𝑏.因为M为EF的中点,所以𝑎2𝑐=𝑐2,得c2=2a2,e=2.(2)双曲线焦点在x轴上,因此可知双曲线焦点为(3,0),于是m+8=9,解得m=1,此时a=1,b=22,c=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±22x.答案(1)D(2)y=±22x课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思想方法数学方法——双曲线离心率的常见求法典例(1)若双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2A.73B.54C.43D.53(2)已知点A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为()A.5B.2C.3D.2课堂