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-1-2.3双曲线-2-2.3.1双曲线及其标准方程课标阐释思维脉络1.理解并掌握双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程,了解其推导过程.3.会用待定系数法求双曲线的标准方程.双曲线及其标准方程定义——应用标准方程形式求解课前篇自主预习【思考1】若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?答案如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.课前篇自主预习1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.名师点拨理解双曲线的定义,应重点抓住它与椭圆的不同点:(1)双曲线的定义中是动点到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数,而不是差等于非零常数,否则轨迹只能为双曲线的某一支,而不是完整的双曲线,这一点不同于椭圆.(2)双曲线的定义中,常数应小于两个已知定点间的距离且不等于0,否则,若常数等于|F1F2|,则轨迹变为两条射线;若常数等于0,则轨迹为线段F1F2的垂直平分线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在,这一点也与椭圆不同.课前篇自主预习【做一做1】(1)给出下列条件,其中动点轨迹为双曲线的是()A.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于8B.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差等于6C.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于4D.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之和等于4(2)动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线解析(2)因为|PM|-|PN|=2,且|MN|=2,所以点P在线段MN的延长线上.答案(1)C(2)D课前篇自主预习【思考2】双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?答案双曲线标准方程中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中ca,cb,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中ab0,ac,c与b大小不确定.课前篇自主预习2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)几何图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b2课前篇自主预习名师点拨1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.2.两种双曲线=1(a0,b0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a0,b0,a2+b2=c2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.3.双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正,这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2课前篇自主预习【做一做2】(1)若双曲线方程为=1,则其焦点在轴上,焦点坐标为.(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为.𝑥216−𝑦220解析(1)因为方程中x2的系数1160,所以焦点在x轴上,且a2=16,b2=20,从而c2=16+20=36,c=6,故焦点坐标为(6,0)和(-6,0).(2)由已知得b2=c2-a2=75,于是双曲线方程为𝑦225−𝑥275=1.答案(1)x(6,0)和(-6,0)(2)𝑦225−𝑥275=1课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一双曲线定义的应用例1若F1,F2是双曲线=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离.(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.思路分析(1)直接利用定义求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.𝑥29−𝑦216课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.(2)由𝑥29−𝑦216=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|𝐹1𝐹2|2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-2|PF1||PF2|cos60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,∴S=12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=12×64×32=163.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S=×|F1F2|×|yP|求得面积.1212课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A.||PF1|-|PF2||=5B.||PF1|-|PF2||=6C.||PF1|-|PF2||=7D.||PF1|-|PF2||=0解析A中,因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=5|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;B中,因为||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点);C中,因为||PF1|-|PF2||=7|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;D中,因为||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故选A.答案A课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二对双曲线标准方程的理解例2给出曲线方程=1.(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.𝑥24+𝑘+𝑦21-𝑘解(1)将所给方程化为𝑥24+𝑘−𝑦2𝑘-1=1,若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)0,解得k1或k-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).(2)将所给方程化为𝑦21-𝑘−𝑥2-4-𝑘=1,若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,则有1-𝑘0,-4-𝑘0,解得k-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟双曲线方程的应用给出方程=1,其表示双曲线的条件是mn0,表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m0,n0,表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m0,n0.𝑥2𝑚−𝑦2𝑛课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn0,则该方程表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤απ)表示双曲线,则α的取值范围是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析(1)方程化为𝑥23𝑛𝑚−𝑦23𝑛𝑚=1.因为mn0,所以3𝑛𝑚0,故方程表示焦点在y轴上的双曲线.(2)方程化为𝑥21sin𝛼−𝑦21cos𝛼=1,依题意有1sin𝛼·1cos𝛼0,即sinα·cosα0.因为0≤απ,所以0απ2.答案(1)D(2)0,π2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三求双曲线的标准方程例3根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)a=4,经过点A1,-4103;(2)与双曲线𝑥216−𝑦24=1有相同的焦点,且经过点(32,2);(3)过点P3,154,Q-163,5且焦点在坐标轴上.思路分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为𝑥216−𝑦2𝑏2=1(b0),把点A的坐标代入,得b2=-1615×16090,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为𝑦216−𝑥2𝑏2=1(b0),把A点的坐标代入,得b2=9.故所求双曲线的标准方程为𝑦216−𝑥29=1.(2)法一:∵焦点相同,∴设所求双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),∴c2=16+4=20,即a2+b2=20.①∵双曲线经过点(32,2),∴18𝑎2−4𝑏2=1.②由①②得a2=12,b2=8,∴双曲线的标准方程为𝑥212−𝑦28=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测法二:设所求双曲线的方程为𝑥216-𝜆−𝑦24+𝜆=1(-4λ16).∵双曲线过点(32,2),∴1816-𝜆−44+𝜆=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).∴双曲线的标准方程为𝑥212−𝑦28=1.(3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB0.∵点P,Q在双曲线上,∴9𝐴+22516𝐵=1,2569𝐴+25𝐵=1,解得𝐴=-116,𝐵=19.∴双曲线的标准方程为𝑦29−𝑥216=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;(2)求出a2,b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0)来求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(26,22).解(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.∵焦点在x轴上,∴所求的双曲线标准方程是𝑥216−𝑦29=1.(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(m0,n0),则16𝑚+4𝑛=1,24𝑚+8𝑛=1,∴𝑚=18,𝑛=-14,∴双曲线方程为𝑥28−𝑦24=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多变——双曲线定义的应用典例已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2的面积.解因为点P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.𝑥29−𝑦216在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=100-1002|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=1