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-1-2.2.2椭圆的简单几何性质课标阐释思维脉络1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质.2.能够利用椭圆的标准方程画出椭圆的图形.3.掌握根据椭圆的几何性质解决有关问题的方法.椭圆的简单几何性质范围对称性顶点离心率→应用课前篇自主预习【思考】观察椭圆=1(ab0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?答案(1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2课前篇自主预习1.椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a课前篇自主预习顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长=|A1A2|,短轴长=|B1B2|焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0)离心率e=ca(0e1)课前篇自主预习名师点拨1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等.2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.3.因为离心率e=𝑐𝑎=𝑎2-𝑏2𝑎2=1-𝑏𝑎2,所以离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆.课前篇自主预习【做一做1】椭圆x2+4y2=1的离心率等于()A.32B.34C.22D.23解析椭圆方程化为x2+𝑦214=1,于是a=1,b=12,c=32,故离心率e=𝑐𝑎=32.答案A【做一做2】若点P(m,n)是椭圆=1上任意一点,则m的取值范围是,n的取值范围是.𝑥24+𝑦23解析椭圆焦点在x轴上,且a=2,b=3,所以-2≤m≤2,-3≤n≤3.答案[-2,2][-3,3]课前篇自主预习【做一做3】已知椭圆=1,则其顶点坐标分别为,焦点坐标为,长轴长等于,短轴长等于,焦距等于.𝑥29+𝑦216解析椭圆焦点在y轴上,且a2=16,b2=9,所以c=7,从而四个顶点坐标分别为(0,4),(0,-4),(3,0),(-3,0),两个焦点坐标为(0,7),(0,-7),长轴长2a=8,短轴长2b=6,焦距2c=27.答案(0,4),(0,-4),(3,0),(-3,0)(0,7),(0,-7)8627课前篇自主预习【做一做4】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)椭圆=1(ab)的长轴长为a,短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大,则椭圆越接近于圆.()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上,则这四个顶点关于椭圆的中心对称.()答案(1)×(2)×(3)√𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一根据椭圆的标准方程研究其几何性质例1求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解已知方程化成标准方程为𝑥216+𝑦29=1,于是a=4,b=3,c=16-9=7,∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e=𝑐𝑎=74,又知焦点在x轴上,∴两个焦点坐标分别是(-7,0)和(7,0),四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解由已知得椭圆标准方程为𝑥219+𝑦2116=1,于是a=13,b=14,c=19-116=712.∴长轴长2a=23,短轴长2b=12,离心率e=𝑐𝑎=74.焦点坐标-712,0和712,0,顶点坐标±13,0,0,±14.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟确定椭圆几何性质的基本步骤(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.𝑥2100+𝑦264解(1)由椭圆C1:𝑥2100+𝑦264=1可得其长半轴长为a=10,短半轴长为b=8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=𝑐𝑎=35.(2)椭圆C2:𝑦2100+𝑥264=1.性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④离心率:e=35.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二根据椭圆的几何性质求其标准方程例2根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.思路分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入即可.63课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)若焦点在x轴上,则a=3,∵e=𝑐𝑎=63,∴c=6.∴b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1.若焦点在y轴上,则b=3,∵e=𝑐𝑎=1-𝑏2𝑎2=1-9𝑎2=63,解得a2=27.∴椭圆的标准方程为𝑦227+𝑥29=1.综上可知,椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦23=1或𝑦227+𝑥29=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)设椭圆的标准方程为=1(ab0).如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.故所求椭圆的标准方程为=1.𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2𝑥232+𝑦216课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟根据椭圆的性质求方程1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;(3)写出标准方程.2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.解若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).因为椭圆过点A(2,0),所以a=2.因为2a=2×2b,所以b=1.所以方程为𝑥24+y2=1.若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0),因为椭圆过点A(2,0),所以b=2.因为2a=2×2b,所以a=4.所以方程为𝑦216+𝑥24=1.综上所述,椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1或𝑦216+𝑥24=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三椭圆的离心率问题例3(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.(2)椭圆=1(ab0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率.𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2思路分析(1)依题意先建立c与b的不等式,再转化为a,c的不等式,即可求得离心率的取值范围;(2)根据题意,建立参数a,b,c的方程求解,注意椭圆定义的灵活运用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)依题意可得2c≥2b,即c≥b,所以c2≥b2,从而c2≥a2-c2,即2c2≥a2,e2=𝑐2𝑎2≥12,所以e≥22.又因为0e1,所以椭圆离心率的取值范围是22,1.(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c.因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c,所以|PF2|=22c.根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a,即2c+22c=2a,所以(2+1)c=a,故e=𝑐𝑎=12+1=2-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟离心率的求法(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.(1)若已知a,c的值或关系,则可直接利用e=𝑐𝑎求解;(2)若已知a,b的值或关系,则可利用e=𝑐𝑎=1-𝑏𝑎2求解;课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练3若直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆离心率为()A.15B.25C.55D.255解析依题意有c=2,b=1,所以a=5,故e=255.答案D课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析一题多变——求椭圆的离心率典例设椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=|𝐹1𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=3𝑚2𝑚+𝑚=33.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测法二:由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±𝑏2𝑎,所以|PF2|=𝑏2𝑎.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3·𝑏2𝑎,变形可得3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得3(1-e2)=2e,解得e=33或e=-3(舍去).答案D课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.解在△PF1F2中,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,则在△PF1F2中,有𝑚sin75°=𝑛sin45°=2𝑐sin60°,∴𝑚+𝑛sin75°+sin45°=2𝑐sin60°,∴e=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=sin60°sin75°+sin45°=6-22.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2(变条件,变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.解由题意,知cb,∴c2b2.又b2=a2-c2,∴c2a2-c2,即2c2a2.∴e2=𝑐2𝑎212,∴e22.故椭圆C的离心率的取值范围为22,1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0),(1,0)B.(0,-1),(0,1)