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-1-2.2椭圆-2-2.2.1椭圆及其标准方程课标阐释思维脉络1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决问题.2.掌握椭圆的标准方程,了解其推导过程.3.会用待定系数法求椭圆的标准方程.椭圆及其标准方程定义——应用标准方程形式求解课前篇自主预习【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?答案在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.课前篇自主预习名师点拨1.由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},其中2a|F1F2|.2.在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.课前篇自主预习【做一做1】(1)下列说法中,正确的是()A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆(2)若点P(x,y)满足𝑥2+(𝑦+2)2+𝑥2+(𝑦-2)2=10,则P点的轨迹是.解析(1)由题意及椭圆定义知,只有C项正确.(2)方程𝑥2+(𝑦+2)2+𝑥2+(𝑦-2)2=10表示动点P(x,y)到点F1(0,-2)与F2(0,2)的距离之和等于10,且|F1F2|=410,所以根据椭圆的定义知点P的轨迹是以F1(0,-2)与F2(0,2)为焦点的椭圆.答案(1)C(2)椭圆课前篇自主预习【思考2】若两定点A、B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?答案以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以(𝑥-3)2+𝑦2+(𝑥+3)2+𝑦2=10,即点P的轨迹方程为𝑥225+𝑦216=1.课前篇自主预习2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系a2=b2+c2课前篇自主预习名师点拨1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.2.两种椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有ab0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.3.给出椭圆方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(m0,n0),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.课前篇自主预习【做一做2】(1)若椭圆方程为𝑥210+𝑦26=1,则其焦点在轴上,焦点坐标为.(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为.解析(1)因为106,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).(2)由已知得b2=a2-c2=21,于是椭圆的标准方程为𝑦225+𝑥221=1.答案(1)x(2,0)和(-2,0)(2)𝑦225+𝑥221=1课前篇自主预习3.点与椭圆的位置关系(1)根据椭圆的定义判断点M(x0,y0)与椭圆的位置关系如下:|MF1|+|MF2|2a⇔点M在椭圆内部;|MF1|+|MF2|=2a⇔点M在椭圆上;|MF1|+|MF2|2a⇔点M在椭圆外部.(2)对于点M(x0,y0)与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的位置关系,有如下结论:点M(x0,y0)在椭圆内⇔𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏21;点M(x0,y0)在椭圆上⇔𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1;点M(x0,y0)在椭圆外⇔𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏21.课前篇自主预习【做一做3】点P(1,1)与椭圆C:𝑥29+𝑦25=1的位置关系是()A.点在椭圆C上B.点在椭圆C内C.点在椭圆C外D.无法判断解析方法一:F1(-2,0),F2(2,0),2a=6.|PF1|=(1+2)2+(1-0)2=10,|PF2|=(1-2)2+(1-0)2=2.∵|PF1|+|PF2|=10+26,∴点P在椭圆C内.方法二:∵19+15=14451,∴点P在椭圆C内.答案B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究一对椭圆定义的理解例1点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.思路分析根据椭圆的定义进行分析即可,特别要注意对定义中的常数的限制条件的考查.解方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径r=8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值86=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将本例中圆C的方程改为:x2+y2-6x=0且点P(-3,0)为其外一定点,动圆M与已知圆C相外切且过P点,求动圆圆心M的轨迹方程.解设M(x,y),由题意可知,圆C:(x-3)2+y2=9,圆心C(3,0),半径r=3.由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3,即(𝑥-3)2+(𝑦-0)2−(𝑥+3)2+(𝑦-0)2=3,整理得𝑥294−𝑦2274=1x-32.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆定义的应用(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究二对椭圆标准方程的理解例2(1)若方程𝑥225-𝑚+𝑦2𝑚+9=1表示椭圆,则实数m的取值范围是()A.(-9,25)B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25)D.(8,+∞)(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解析(1)依题意有25-𝑚0,𝑚+90,𝑚+9≠25-𝑚,解得-9m8或8m25,即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).(2)由题意知m≠0,将椭圆方程化为𝑥21+𝑦2-13𝑚=1,依题意有-13𝑚0,1-13𝑚,解得m-13,即实数m的取值范围是-∞,-13.答案(1)B(2)-∞,-13课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围1.给出方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1,其表示椭圆的条件是𝑚0,𝑛0,𝑚≠𝑛,其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是mn0,其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是nm0.2.若给出椭圆方程Ax2+By2=C,则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式𝑥2𝐶𝐴+𝑦2𝐶𝐵=1,再研究其焦点的位置等情况.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎-12=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是.解析方程化为𝑥2𝑎2+𝑦212-𝑎=1,依题意应有12-aa20,解得-4a0或0a3.答案(-4,0)∪(0,3)课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测探究三求椭圆的标准方程例3根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点A(3,-2)和点B(-23,1).思路分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n).课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).因为2a=(5+4)2+(5-4)2=10,所以a=5.又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为𝑥225+𝑦29=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以4𝑎2+0𝑏2=1,0𝑎2+1𝑏2=1,解得𝑎2=4,𝑏2=1.故所求椭圆的标准方程为𝑦24+x2=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(3)方法一:①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).依题意有(3)2𝑎2+(-2)2𝑏2=1,(-23)2𝑎2+1𝑏2=1,解得𝑎2=15,𝑏2=5,故所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0).依题意有(-2)2𝑎2+(3)2𝑏2=1,1𝑎2+(-23)2𝑏2=1,解得𝑎2=5,𝑏2=15,因为不满足ab0,所以无解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆方程的求法1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m0,n0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.综上可知,所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),依题意有3𝑚+4𝑛=1,12𝑚+𝑛=1,解得𝑚=115,𝑛=15.故所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练2根据下列条件,求椭圆的标准方程.(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.(1)经过两点A(0,2),B12,3;解(1)设所求椭圆的方程为𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(m0,n0,且m≠n).∵椭圆过点A(0,2),B12,3,∴0𝑚+4𝑛=1,14𝑚+3𝑛=1,解得𝑚=1,𝑛=4.即所求椭圆的方程为x2+𝑦24=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测(2)∵椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,-5),(0,5),∴可设所求椭圆方程为𝑥2𝑚+𝑦2𝑚+5=1(m0).又椭圆经过点(2,-3),则有4𝑚+9𝑚+5=1,解得m=10或m=-2(舍去),即所求椭圆的标准方程为𝑥210+𝑦215=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测思维辨析求与椭圆有关的轨迹问题典例已知B,C是两个定点