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第3课时分式及其运算基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一分式的有关概念1.在式子𝑦2,12π,2𝑥-1中,属于分式的个数是()A.0B.1C.2D.3B2.[2018·金华]若分式𝑥-3𝑥+3的值为0,则x的值是()A.3B.-3C.3或-3D.03.[2019·宁波]若分式1𝑥-2有意义,则x的取值范围是()A.x2B.x≠2C.x≠0D.x≠-2AB基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理1.A,B表示两个整式,形如𝐴𝐵的代数式,当B中含有且时,叫分式.2.对于分式𝐴𝐵,当B=0时,分式意义;当B≠0时,分式意义.3.若分式𝐴𝐵的值为0,则且.字母B≠0有B≠0A=0没有基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二分式的基本性质1.[2019·扬州]分式13-𝑥可变形为()A.13+𝑥B.-13+𝑥C.1𝑥-3D.-1𝑥-32.[2018·内江]已知1𝑎−1𝑏=13,则𝑎𝑏𝑏-𝑎的值是()A.13B.-13C.3D.-33.化简𝑚2-163𝑚-12得.DC𝒎+𝟒𝟑基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理分式的基本性质分式的约分把一个分式的分子、分母的约去,使分式化为最简分式(即分子、分母没有的分式)通分将异分母分式化为同分母分式≠0公因式公因式AB=A·MB·M=A÷MB÷M(其中A,B,M都是整式,且M)基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三分式的运算1.[2019·湖州]计算𝑎-1𝑎+1𝑎,正确的结果是()A.1B.12C.aD.1𝑎2.化简a-𝑏2𝑎÷𝑎-𝑏𝑎的结果是()A.a-bB.a+bC.1𝑎-𝑏D.1𝑎+𝑏3.[2019·武汉]计算2𝑎𝑎2-16−1𝑎-4的结果是.AB𝟏𝒂+𝟒基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理分式的加减分式的乘除分式的混合运算在分式的混合运算中,应先算乘除,再算加减.如果有括号,就先算括号里面的.分式化简的结果一定要化成分式或最简整式同分母:ac±bc=;异分母:ab±cd=乘法:ab·cd=;除法:ab÷cd=𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅±𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒂𝒅𝒃𝒄基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一分式的化简、求值例1[2019·杭州]化简:4𝑥𝑥2-4−2𝑥-2-1.圆圆的解答如下:4𝑥𝑥2-4−2𝑥-2-1=4x-2(x+2)-(x2-4)=-x2+2x.圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.解:圆圆的解答错误.正确解法:4𝑥𝑥2-4−2𝑥-2-1=4𝑥(𝑥-2)(𝑥+2)−2(𝑥+2)(𝑥-2)(𝑥+2)−(𝑥-2)(𝑥+2)(𝑥-2)(𝑥+2)=4𝑥-2𝑥-4-𝑥2+4(𝑥-2)(𝑥+2)=2𝑥-𝑥2(𝑥-2)(𝑥+2)=-𝑥𝑥+2.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2018·舟山]化简并求值:𝑎𝑏−𝑏𝑎·𝑎𝑏𝑎+𝑏,其中a=1,b=2.解:原式=𝑎2-𝑏2𝑎𝑏·𝑎𝑏𝑎+𝑏=a-b.当a=1,b=2时,原式=1-2=-1.2.[2019·大庆]已知ab=1,b=2a-1,求代数式1𝑎−2𝑏的值.解:因为b=2a-1,所以2a-b=1,又因为ab=1,所以2𝑏−1𝑎=1,所以1𝑎−2𝑏=-1.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二分式的条件求值例2先化简,再求值:1+𝑥2+2𝑥-2÷𝑥+1𝑥2-4𝑥+4,其中x满足x2-2x-5=0.解:1+𝑥2+2𝑥-2÷𝑥+1𝑥2-4𝑥+4=𝑥-2+𝑥2+2𝑥-2÷𝑥+1(𝑥-2)2=𝑥(1+𝑥)𝑥-2·(𝑥-2)2𝑥+1=x(x-2)=x2-2x.∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴原式=5.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】求解此类问题,一般是根据分式混合运算的顺序先化简,再代入(有时需要整体代入)求值,但应注意字母的取值一定要使原分式有意义,而不是只看化简后的式子.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式𝑏𝑎+𝑎𝑏的值等于.-3基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·烟台]先化简x+3-7𝑥-3÷2𝑥2-8𝑥𝑥-3,再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值.解:x+3-7𝑥-3÷2𝑥2-8𝑥𝑥-3=(𝑥+3)(𝑥-3)𝑥-3−7𝑥-3·𝑥-32𝑥2-8𝑥=(𝑥+4)(𝑥-4)𝑥-3·𝑥-32𝑥(𝑥-4)=𝑥+42𝑥.因为𝑥-3≠0,2𝑥2-8𝑥≠0,2𝑥≠0,所以x不能取0,3,4.考虑到从0≤x≤4中选一个整数,故x只能取1或2.①当x=1时,原式=1+42×1=52;②当x=2时,原式=2+42×2=32.(注意:①与②只写一种即可)基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三分式的创新与应用例3[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:第一次:第二次:(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的单价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价𝑥甲,𝑥乙.比较𝑥甲,𝑥乙的大小,并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p(pv)时,船顺水航行速度为(v+p),逆水航行速度为(v-p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1,t2的大小,并说明理由.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【思路分析】(1)菜价2元/千克,买1千克菜的金额为2元;3元钱能买1.5千克菜.解:(1)2;1.5.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例3[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:第一次:第二次:(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【思路分析】(2)根据“均价=总金额÷总质量”,甲均价=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克);乙均价=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).解:(2)根据“均价=总金额÷总质量”,得𝑥甲=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克);𝑥乙=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的单价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价𝑥甲,𝑥乙.比较𝑥甲,𝑥乙的大小,并说明理由.例3[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:第一次:第二次:菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【思路分析】类比(2),甲均价=(am+bm)÷(m+m)=𝑎+𝑏2(元/千克);乙均价=(n+n)÷𝑛𝑎+𝑛𝑏=2𝑎𝑏𝑎+𝑏(元/千克).再作差比较大小.解:𝑥甲=(am+bm)÷(m+m)=𝑎+𝑏2(元/千克);𝑥乙=(n+n)÷𝑛𝑎+𝑛𝑏=2𝑎𝑏𝑎+𝑏(元/千克).𝑥甲−𝑥乙=𝑎+𝑏2−2𝑎𝑏𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)2-4𝑎𝑏2(𝑎+𝑏)=(𝑎-𝑏)22(𝑎+𝑏)≥0,∴𝑥甲≥𝑥乙.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例3[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:第一次:第二次:菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p(pv)时,船顺水航行速度为(v+p),逆水航行速度为(v-p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1,t2的大小,并说明理由.【思路分析】采用类比的方法,根据时间=路程÷速度得,t1=2𝑠𝑣,t2=𝑠𝑣+𝑝+𝑠𝑣-𝑝,t1-t2=2𝑠𝑣−𝑠𝑣+𝑝−𝑠𝑣-𝑝0.解:t1t2,理由如下:t1=2𝑠𝑣,t2=𝑠𝑣+𝑝+𝑠𝑣-𝑝,t1-t2=2𝑠𝑣-𝑠𝑣+𝑝+𝑠𝑣-𝑝=-2𝑠𝑝2𝑣(𝑣2-𝑝2)0,故t1t2.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|如图3-1,设k=甲图中阴影部分的面积乙图中阴影部分的面积,其中ab0,则有()A.k2B.1k2C.12k1D.0k12B图3-1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测1.[2019·衡阳]如果分式1𝑥+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≠-1B.x-1C.全体实数D.x=-12.[2019·聊城]如果分式|𝑥|-1𝑥+1的值为0,那么x的值为()A.-1B.1C.-1或1D.1或03.已知a2-3a+1=0,则a+1𝑎-2的值为()A.5-1B.1C.-1D.-5ABB基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·衢州]计算:1𝑎+2𝑎=.5.[2019·山西]化简2𝑥𝑥-1−𝑥1-𝑥的结果是.6.[2019·达州]先化简:𝑥-2𝑥2+2𝑥−𝑥-1𝑥2+4𝑥+4÷4-𝑥𝑥,再选取一个适当的x的值代入求值.𝟑𝒂𝟑𝒙𝒙-𝟏解:原式=𝑥-2𝑥(𝑥+2)−𝑥-1(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=𝑥2-4-𝑥2+𝑥𝑥(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=𝑥-4𝑥(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=-1(𝑥+2)2.当x=1时,-1(𝑥+2)2=-19.