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第22课时锐角三角函数及其应用基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一锐角三角函数的定义及性质1.[2017·金华]在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是()A.34B.43C.35D.45[答案]A[解析]在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=𝐴𝐵2-𝐵𝐶2=52-32=4,再根据正切函数的定义,得tanA=𝐵𝐶𝐴𝐶=34.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.如图22-1,点A为∠α边上的任意一点,过点A作AC⊥BC于点C,过点C作CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是()A.𝐵𝐷𝐵𝐶B.𝐵𝐶𝐴𝐵C.𝐴𝐷𝐴𝐶D.𝐶𝐷𝐴𝐶图22-1C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[2019·宜昌]如图22-2,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为()A.43B.34C.35D.45图22-2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[解析]如图,过C作CD⊥AB于D,则∠ADC=90°,∴AC=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=32+42=5.∴sin∠BAC=𝐶𝐷𝐴𝐶=45.[答案]D基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b正弦余弦正切sinA=∠A的对边斜边=cosA=∠A的邻边斜边=tanA=∠A的对边∠A的邻边=𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b正弦余弦正切它们统称为∠A的锐角三角函数同角三角函数的关系(1)tanA=;(2)sin2A+cos2A=1互余两角的三角函数的关系sinA=cosB;cosA=sinB;tanA·tanB=1(∠A+∠B=90°)(续表)𝑠𝑖𝑛A𝑐𝑜𝑠A基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二特殊角的三角函数值1.[2018·天津]cos30°的值等于()A.22B.32C.1D.3B基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2018·青海]在△ABC中,若锐角∠A,∠B满足sin𝐴-12+cosB-122=0,则∠C的度数是.[答案]90°[解析]∵sin𝐴-12+cosB-122=0,∴sinA=12,cosB=12,∴∠A=30°,∠B=60°,∴∠C=180°-30°-60°=90°.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理αsinαcosαtanα30°45°60°𝟏𝟐𝟑𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟏𝟐𝟐𝟐1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三解直角三角形1.[2019·乐山]如图22-3,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=35,则AB边的长为.图22-3基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]165[解析]过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,cosC=35,AC=2,∴DC=35×2=65,AD=𝐴𝐶2-𝐶𝐷2=22-(65)2=85.Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°,∵sinB=𝐴𝐷𝐴𝐵=12,∴AB=2AD=165.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.在△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长为.𝟔基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b三边关系:a2+b2=两锐角关系:∠A+∠B=°边与角关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=,tanB=锐角α是a,b的夹角面积:S=𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃c290𝒃𝒂𝟏𝟐absinα基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点四解直角三角形的应用1.[2019·广州]如图22-4,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=25,则此斜坡的水平距离AC为()A.75mB.50mC.30mD.12m图22-4A基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·宁波]如图22-5,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为米.(结果保留整数,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)图22-5基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[解析]如图,在Rt△AOH中,OH=AOcos45°=2002,在Rt△BOH中,BO=𝑂𝐻cos60°=4002≈566.[答案]566基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[2019·衡阳改编]如图22-6,测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°,已知坡面长度CD=10米,山坡的坡度i=1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),则楼房AB的高度为米.(结果精确到0.1米,参考数据:3≈1.73,2≈1.41)图22-6基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[解析]设楼房AB的高为x米,则EB=33x米,∵坡度i=1∶3,坡面CD=10米,∴坡面CD的铅直高度为5米,坡面的水平宽度为53米,∴53+10+33x=3(x-5),解得x=15+53≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.[答案]237基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理仰角和俯角仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫仰角.俯角:视线在水平线下方的叫俯角基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(续表)坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tanα坡度越大,坡角α越大,坡面方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角h∶l越陡基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一锐角三角函数及特殊角的三角函数值图22-7例1如图22-7,△ABC的顶点是边长为1的正方形网格的格点.(1)直接写出cosB和tan(∠ACB-90°)的值;(2)求sinA的值.解:(1)cosB=cos45°=22,tan(∠ACB-90°)=13.(2)S△ABC=12×2×3=12×32×10·sinA,∴sinA=55.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】解决与网格有关的三角函数求值问题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据锐角三角函数的定义进行求解.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|[2018·眉山]如图22-8,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD=.图22-8[答案]2[解析]如图所示,连结AE,BE,易证CD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,显然△ABE是直角三角形,∴tan∠AOD=tan∠ABE=𝐴𝐸𝐵𝐸=222=2.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二解直角三角形图22-9例2如图22-9,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB的垂直平分线MN交AC于D,连结BD,若cos∠BDC=35,则BC的长为()A.4B.6C.8D.10基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]∵∠C=90°,AC=8,AB的垂直平分线MN交AC于D,连结BD,∴BD=AD,∴CD+BD=8.∵cos∠BDC=𝐶𝐷𝐵𝐷=35,∴𝐶𝐷8-𝐶𝐷=35,解得:CD=3,BD=5,∴BC=4.[答案]A基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】在几何图形中解决有关边、角的计算问题经常用到解直角三角形的知识.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图22-101.[2019·金华]如图22-10,矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=m,∠BAC=∠α,下列结论错误的是()A.∠BDC=∠αB.BC=m·tanαC.AO=𝑚2sin𝛼D.BD=𝑚cos𝛼基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]由锐角三角函数的定义,得sinα=𝐵𝐶2𝑂𝐴,∴AO=𝐵𝐶2sin𝛼,故选C.[答案]C基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图22-112.[2019·盐城]如图22-11,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]如图,过点A作AD⊥BC于点D,又∠C=45°,故sinC=𝐴𝐷𝐴𝐶=22,tanC=𝐴𝐷𝐶𝐷=1,设AD=x,则AC=2AD=2x,CD=x,AB=2AC=2x,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,由勾股定理可得:AD2+BD2=AB2,即x2+BD2=(2x)2,得BD=3x,所以BC=BD+CD=(3+1)x=6+2,解得x=2,故AC=2.[答案]2基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三解直角三角形的实际应用例3[2019·江西]图22-12①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)图22-12基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(1)如图②,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=°;②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图22-12基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)①如图①所示,延长OA交BC于点F,∵BC∥OE,OA⊥OE,∴∠BFA=∠AOE=90°,∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.故答案为160.②∵∠BFA=90°,∠ABC=70°,AB=30cm,sin70°≈0.94,∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2(cm).∵OA=6.8cm,∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35(cm).又∵CD始终垂直于水平桌面OE,且CD=8cm,∴点D到桌面OE的距离为:OF-CD=35-8=27(cm).基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例3[2019·江西]图22-12①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图22-12基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解：(2)如图②所示,作BH⊥CD于点H,∵D到桌面OE的距离为6cm,H到桌面OE的距离为35cm,CD=8cm,∴CH=35-8-6=21(cm).又∵BC=35cm,∠H=90°,∴sin∠CBH=𝐶𝐻𝐵𝐶=2135=35=0.6,∵sin36.8°≈0.60,∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合平面几何知识