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第20课时相似三角形及其性质基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一比例线段图20-1C1.[2019·杭州]如图20-1,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连结AM交DE于点N,则()A.𝐴𝐷𝐴𝑁=𝐴𝑁𝐴𝐸B.𝐵𝐷𝑀𝑁=𝑀𝑁𝐶𝐸C.𝐷𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐸𝑀𝐶D.𝐷𝑁𝑀𝐶=𝑁𝐸𝐵𝑀基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.若𝑥2=𝑦3=𝑧4≠0,则2𝑥+3𝑦𝑧=.[答案]134[解析]设𝑥2=𝑦3=𝑧4=k≠0,则x=2k,y=3k,z=4k,∴2𝑥+3𝑦𝑧=4𝑘+9𝑘4𝑘=134.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[浙教版教材九上P122例5改编]如图20-2,已知线段AB=5+12,点P是它的黄金分割点,APBP,则AP=.1图20-2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理1.比例的性质(1)基本性质:𝑎𝑏=𝑐𝑑⇒ad=.(2)比例中项:如果三个数a,b,c满足比例式𝑎𝑏=𝑏𝑐⇔,则b就叫做a,c的比例中项.bcb2=ac基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.比例线段比例线段四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段黄金分割如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB(APBP),使,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,线段AP与AB的比叫做黄金比,黄金比≈平行线分线段成比例定理如图,AB∥CD∥EF⇔=PA2=PB·AB0.618APAB=ACCF𝒂𝒃=𝒄𝒅𝟓-𝟏𝟐𝑩𝑫𝑫𝑬基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二相似三角形的性质1.[2019·兰州]已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则𝐵𝐶𝐵'𝐶'=()A.2B.43C.3D.1692.[2018·广东]在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为()A.12B.13C.14D.16BC基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理相似三角形的性质相似三角形的对应角,对应边相似三角形的周长之比等于相似三角形的面积之比等于相似三角形的对应线段(角平分线、中线、高)之比等于拓展三角形的重心分每一条中线成1∶的两条线段相等成比例相似比相似比的平方2相似比基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三相似三角形的判定1.已知△ABC如图20-3所示,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是()C图20-4图20-3基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.如图20-5,给出下列条件,其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为()①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶;④AC2=AD·AB.A.1个B.2个C.3个D.4个图20-5C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图20-623.如图20-6,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有个.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理相似三角形的判定平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似有两个角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例,且的两个三角形相似对应成比例的两个三角形相似,特别地,直角三角形斜边上的高分得的两个直角三角形相似,且都与原直角三角形相似夹角相等三边基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测判定三角形相似的思路(1)有平行截线——用平行线的性质,找等角(2)有一对等角,找另一对等角该角的两边对应成比例(3)有两边对应成比例,找夹角相等第三边也对应成比例基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(4)直角三角形,找一对锐角相等斜边、直角边对应成比例(5)等腰三角形,找顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一相似三角形的性质图20-7例1[2019·邯郸模拟]如图20-7,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB和△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.𝑂𝐵𝐶𝐷=32B.𝛼𝛽=32C.𝑆1𝑆2=32D.𝐶1𝐶2=32基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]∵△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,∠A=α,∠C=β,∴𝑂𝐵𝑂𝐷=32,A错误;∴𝑆1𝑆2=94,C错误;∴𝐶1𝐶2=32,D正确;不能得出𝛼𝛽=32,B错误;故选:D.[答案]D基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】相似三角形主要应用在以下几方面:①求角的度数;②求或证明比值关系;③证线段等积式;④求面积或面积比.相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法,也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cmC基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·常德]如图20-8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是()A.20B.22C.24D.26图20-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]∵图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,∴最小的三角形与△ABC的相似比为142,∵△ADE∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶2.∵𝐷𝐸𝐵𝐶=4×142=442,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=1642=821,∴S△ADE=821×42=16,∴四边形DBCE的面积=S△ABC-S△ADE=26,故选项D正确.[答案]D基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究3.如图20-9,矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时,DP=.图20-9基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]①当△APD∽△PBC时,𝐴𝐷𝑃𝐶=𝑃𝐷𝐵𝐶,即25-𝑃𝐷=𝑃𝐷2,解得PD=1或PD=4;②当△PAD∽△PBC时,𝐴𝐷𝐵𝐶=𝑃𝐷𝑃𝐶,即22=𝑃𝐷5-𝑃𝐷,解得DP=2.5.综上所述,DP的长度是1或4或2.5.[答案]1或4或2.5基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二相似三角形的判定例2[2017·株洲]如图20-10,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC交于点G,连结CF.(1)求证:△DAE≌△DCF;(2)求证:△ABG∽△CFG.图20-10证明:(1)∵等腰直角三角形DEF,正方形ABCD,∴DE=DF,DC=DA,∠EDF=∠ADC=90°,∠EFD=∠DEF=45°.∵∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=90°,∴∠CDF=∠ADE,在△DAE与△DCF中,𝐷𝐴=𝐷𝐶,∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹,𝐷𝐸=𝐷𝐹,∴△DAE≌△DCF.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例2[2017·株洲]如图20-10,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC交于点G,连结CF.(2)求证:△ABG∽△CFG.图20-10证明:(2)由(1)知,∠DFC=∠DEF=45°,∵∠EFD=45°,∴∠CFG=∠DFC+∠DFE=90°,∴∠CFG=∠B,又∠CGF=∠AGB,∴△ABG∽△CFG.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】相似三角形基本图形(1)如图20-11,DE∥BC,则△ADE与△ABC称为“平行线型”的相似三角形.图20-11基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(2)如图20-12,△ADE与△ABC称为“相交线型”的相似三角形.图20-12基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(3)如图20-13,∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE与△ABC称为“旋转型”的相似三角形.图20-13基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(4)如图20-14,∠B=∠ACE=∠D,则△ABC与△CDE称为“一线三等角型”的相似三角形.通过构造相似三角形得出线段间的数量关系,进而求得线段的长度、图形的面积等是相似的重要应用.图20-14基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图20-151.下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐵𝐶基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]A.∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;B.∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;C.∵AB2=AD·AC,∴𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐷,又∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;D.𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐵𝐶不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.故选D.[答案]D基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·自贡模拟]以下各图放置的小正方形的边长都相同,分别以小正方形的顶点为顶点画三角形,则与△ABC相似的三角形为图20-17中的()图20-16图20-17基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]设每个小正方形的边长为1,则△ABC的各边长分别为:2,2,10,同理求得:A中三角形的各边长为:2,1,5,与△ABC的各边对应成比例,所以两三角形相似.故选A.[答案]A基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究3.[2019·黄冈]如图20-18,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连结OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.图20-18证明:(1)连结OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究3.[2019·黄冈]如图20-18,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连结OE.(2)求证:△COE∽△CAB.图20-18证明:(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三相似三角形性质与判定的综合例3[2018·扬州]如图20-19,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其中正确的是()A.①②③B.①C.①②D.②③图20-19基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]由已知:AC=2AB,AD=2AE,∴𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐸;∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD,∴①正确;∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,∴𝑀𝑃𝑀𝐴=𝑀𝐸𝑀𝐷,∴MP·MD=MA·ME,∴②正确;∵∠BEA=∠CDA,即∠PEA=∠PDA,∴P,E,D,